Neutre et inverse

Dans cette vidéo, Corentin explique le concept de groupe en mathématiques. Il commence par donner l'énoncé qui définit un groupe comme étant un ensemble muni d'une loi étoile associative, avec un élément neutre à gauche et où chaque élément possède un inverse à gauche. Il souligne que pour montrer qu'un ensemble E est un groupe pour la loi étoile, il faut également prouver que l'inverse à gauche est également un inverse à droite. Pour démontrer cela, Corentin utilise les inverses à gauche x prime et y prime de xy, où yx est égal à l'élément neutre E. En multipliant à gauche par y prime y, il montre que xy est égal à E en utilisant l'associativité de la loi étoile. Ainsi, il démontre que l'inverse à gauche est également un inverse à droite. Ensuite, Corentin se penche sur l'unicité de l'élément neutre à gauche et montre que si F et E sont tous les deux neutres à gauche, alors ils sont égaux. Il utilise le fait que F fois E est égal à E par hypothèse sur F, et que E fois F est également égal à E. Comme E est un élément neutre à gauche, il en déduit que F est égal à E. Enfin, Corentin montre que l'élément neutre à gauche est également neutre à droite en utilisant l'inverse de x prime. Il montre que x fois E est égal à x en utilisant l'associativité de la loi étoile et en prouvant que l'inverse à gauche est également l'inverse à droite. En conclusion, Corentin résume les étapes de sa démonstration en montrant que l'élément neutre à gauche est également neutre à droite, qu'il est unique, et que l'inverse à gauche est également l'inverse à droite. Ainsi, il conclut que toutes les hypothèses sont réunies et que E est bien un groupe.