Exemple d’anneau

Aujourd'hui, nous avons un exercice sur la démonstration que Q (les nombres rationnels) n'admet pas d'autres sous-corps que lui-même. Pour prouver cela, nous utilisons une double inclusion. Tout d'abord, nous montrons que Q est inclus dans tout sous-corps K de Q. Puisque K est un sous-corps de Q, nous savons que 0 et 1 appartiennent à K, et K est stable par addition et multiplication. Donc, pour tout entier naturel n, n appartient à K, et l'ensemble des entiers relatifs est également inclus dans K. Ensuite, nous considérons X appartenant à Q privé de 0. Nous montrons que X peut s'écrire comme P/Q, avec P et Q appartenant à K. Puisque K est un corps, 1/Q appartient également à K. Par conséquent, P * (1/Q) appartient à K, ce qui signifie que X appartient à K. De plus, nous savons que 0 appartient à K. Ainsi, nous avons montré que Q est inclus dans K et vice versa. Par conséquent, il n'existe pas d'autres sous-corps que Q pour Q lui-même. Merci à tous.