Commutant

Dans cet exercice, nous cherchons à trouver l'ensemble des matrices B qui commutent avec une matrice A donnée. Pour cela, nous observons que la matrice A peut être écrite comme la somme de deux matrices : A fois I2 (matrice identité) et B fois une matrice N (matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale). Cette matrice N est très utile et apparaît souvent dans ce type de problèmes. En simplifiant le problème en utilisant cette écriture, nous obtenons AB = BA si et seulement si NB = BN. Cette équation plus simple nous permet de trouver une structure pour la matrice B : elle s'écrit sous la forme d'un réel fois I2 plus un réel fois N. Ainsi, l'ensemble des matrices qui commutent avec A peuvent également être écrites de cette manière. Il est important de remarquer que cette méthode est plus efficace et rapide que d'autres approches plus lourdes pour résoudre ce type d'exercice. Il est également recommandé de retenir certaines matrices clés, comme la matrice N, qui apparaissent fréquemment et facilitent les calculs. N'hésitez pas à poser des questions et restez à l'affût des prochaines vidéos.