Injectivité et surjectivité

Dans cet exercice, nous étudions des applications linéaires avec des exemples concrets d'applications linéaires et nous déterminons les noyaux et les images de ces applications. Nous examinons chaque application pour déterminer si elle est injective, bijective ou surjective. En dimension finie, être injective, surjective ou bijective est complètement équivalent. Être injective signifie que le noyau est réduit à zéro. Être surjective signifie que l'image est égale à l'espace d'arrivée. Être bijective signifie que les deux sont vrais. En dimension infinie, cela peut être différent. Pour chaque fonction, nous analysons si elle est endomorphisme en restant dans R2 ou R3. Si les espaces de départ et d'arrivée sont différents ou si les dimensions sont différentes, cela ne sera pas un endomorphisme. En utilisant la technique de rédaction en colonne, nous pouvons déterminer l'image de chaque fonction. Nous utilisons des combinaisons linéaires pour trouver des vecteurs indépendants qui composent l'image. Nous utilisons également ces combinaisons linéaires pour trouver les vecteurs du noyau en utilisant une équation de la forme f(x) = 0. En comprenant les relations entre les vecteurs dans l'espace d'arrivée, nous pouvons déterminer les éléments du noyau.