Equivalents et signe

Ce cours porte sur la comparaison d'équivalences de fonctions exponentielles. On considère deux fonctions f et g définies au voisinage d'un réel A. On veut montrer que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g si et seulement si la limite en A de f-g est égale à zéro. Pour démontrer cette équivalence, on raisonne par équivalence et on utilise la définition de l'équivalent. On sait que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g en A, ce qui signifie que exponentielle de f divisé par exponentielle de g tend vers 1 en A. En passant par le logarithme naturel des deux côtés et en utilisant la continuité du logarithme, on obtient que f-g tend vers 0 en A. Ensuite, on se demande si le fait que f soit équivalent à g en A implique forcément que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g en A. La réponse est non. On trouve un contre-exemple en prenant f(x)=x et g(x)=x+1. On a f équivalent à g car x+1 est équivalent à x, mais exponentielle de f(x) n'est pas équivalent à exponentielle de g(x) car leur quotient n'est pas égal à 1. En conclusion, on constate qu'on ne peut pas composer librement les équivalents et il faut être prudent dans les compositions de fonctions. Dans certains cas particuliers, cela peut être possible, mais en général, il faut faire attention.