Le cas particulier du mouvement circulaire

Dans ce cours, nous étudions les mouvements circulaires dans un champ de force centrale conservatif. Le premier objectif est de montrer que tout mouvement circulaire est uniforme dans un tel champ. On supposera donc un point matériel de masse m dans un champ de force centrale conservatif de centre haut. Le moment cinétique par rapport à ce centre, noté L0, est conservé au cours du mouvement. En utilisant les coordonnées polaires pour repérer le point, on obtient OM = RUR et V = Rθ.Uθ. En calculant rapidement le moment cinétique, on obtient MR²θ.Uz, qui est une constante appelée la constante des R. Comme R et θ.Uz sont constants, la vitesse Rθ.Uz est uniforme. Ainsi, on montre que tout mouvement circulaire dans un champ de force centrale conservatif est également uniforme. La deuxième question consiste à calculer la vitesse et l'énergie mécanique dans le cas d'un mouvement circulaire. Comme le mouvement est circulaire, il est uniforme et la vitesse est donnée par Rθ.Uz. L'énergie mécanique du système est donnée par ½mv² plus l'énergie potentielle, qui vaut ½mv²R²θ² plus l'énergie potentielle. En utilisant la constante des R, qui vaut R²θ, on obtient les expressions de la vitesse et de l'énergie mécanique. Pour la troisième question, il s'agit d'établir la troisième loi de Kepler dans le cas d'un mouvement circulaire. On considère une planète en révolution autour du Soleil selon une trajectoire circulaire. En utilisant les coordonnées polaires, on obtient les expressions de OM, V et A. La force d'attraction gravitationnelle entre la planète et le Soleil vaut –gms/R² selon Ur, avec g la constante gravitationnelle et ms la masse du Soleil. En utilisant le principe fondamental de la dynamique, on obtient l'accélération A = –gms/R² selon Ur. En projetant cette équation sur Ur, on obtient V²/R = gms/R². La vitesse de la planète est donc donnée par la racine carrée de gms/R, qui est une constante. En utilisant l'expression de la vitesse, on peut trouver la période de rotation de la planète. La période T est donnée par 2πR/V, donc T² = 4π²R³/gms. On retrouve ainsi la loi des périodes, T²/R³ = 4π²/gms, qui est la troisième loi de Kepler.