Intégration par Parties : Calcul

La méthode d'intégration par partie est utilisée pour calculer des intégrales en décomposant une fonction en deux parties et en utilisant les propriétés de la dérivée du produit. Voici les étapes principales pour appliquer cette méthode : 1. La formule de l'intégration par partie est donnée par l'intégrale de U'V moins l'intégrale de UV'. Cette formule est basée sur la dérivée du produit, UV' = U'V + UV. 2. Il est important de choisir judicieusement les deux parties U' et V afin d'avoir un résultat simplifié. Trois points sont à considérer : a. Il doit y avoir un produit dans l'intégrale pour pouvoir appliquer la méthode. b. Au moins l'une des deux fonctions doit avoir une primitive facile à calculer. c. La dérivée de l'autre fonction doit simplifier le calcul. 3. Pour appliquer la méthode, on calcule U'V et UV' en utilisant les choix de U' et V. On intègre U'V et on trouve la primitive de UV'. 4. On simplifie l'expression obtenue en remplaçant les termes entre crochets par leur valeur. On continue ensuite avec le calcul et on obtient le résultat final. Dans cet exemple spécifique, l'intégrale à calculer est l'intégrale de X ln(X) entre 1 et E. On choisit U' = X et V = ln(X) et on calcule U'V et UV'. En utilisant la formule de l'intégration par partie, on obtient une expression simplifiée : X²/2-ln(X)/2. En évaluant cette expression entre 1 et E, on obtient le résultat final : E²/2-1/4. Il est important de noter que l'ordre de dérivation et d'intégration peut être inversé dans certains cas, mais il est préférable de choisir la méthode qui facilite le calcul. Pour éviter les erreurs, il est recommandé d'écrire U', U, V et V' clairement afin de suivre les étapes plus facilement.