Prolongement par Continuité

Le prolongement par continuité est une méthode importante en mathématiques. Il est utilisé lorsque nous avons une fonction qui n'est pas définie en un point A, mais qui a une limite définie quand x tend vers A. Nous pouvons alors prolonger la fonction en A par continuité. Pour ce faire, nous posons f(A) égale à la limite de f(x) quand x tend vers A. Cela crée une fonction qui est définie et continue en A. Par exemple, la fonction f(x) égale x sur x n'est pas définie en 0, mais a une limite égale à 1. Nous pouvons prolonger cette fonction en faisant f(0) = 1. Dans l'exercice donné, la fonction proposée est f(x) égale à sinus 1 sur x pour x différent de zéro, et f(0) = 0. Nous devons prouver que cette fonction est bien continue en 0. Pour ce faire, nous utilisons le théorème d'encadrement en montrant que la valeur absolue de f(x) est encadrée entre 0 et x. Puis, nous prouvons que la valeur absolue de f(x) tend vers 0 quand x tend vers 0. En utilisant le théorème d'encadrement, nous montrons que la limite de f(x) quand x tend vers 0 est bien égale à 0, ce qui prouve que la fonction est bien continue en 0.En utilisant des méthodes mathématiques comme le théorème d'encadrement, nous pouvons prouver que les fonctions prolongées par continuité sont bien définies et continues.