Exposant=Inconnue ?

Dans ce cours, on utilise l'exponentiel et le logarithme pour résoudre des inéquations où l'inconnu est un exposant. Cela est souvent utilisé en physique, notamment pour calculer la durée nécessaire pour que 80% des atomes radioactifs aient disparu. On utilise les lois géométriques, mais pour résoudre rigoureusement ces problèmes, on passe par la définition de l'exponentiel pour les puissances. Pour une puissance B non entière, on utilise la formule A^B = E^(B*ln(A)). Ainsi, lorsque l'inconnu est à l'exposant d'une puissance, on revient à la définition exponentielle. Dans l'exemple donné, 1/5^n est égal à E^(n*ln(1/5)) = E^(-n*ln(5)), ce qui est inférieur à 0,01. En isolant l'exponentielle, on obtient -n*ln(5) < ln(0,01). En multipliant par -1 et en divisant par ln(5), on obtient n > ln(0,01)/ln(5). En vérifiant la cohérence de nos calculs, on constate que pour des valeurs de n suffisamment grandes, la suite géométrique tend vers 0, ce qui confirme notre résultat. Dans un autre exemple, avec 1,22^n > 10^5, on utilise également la notation exponentielle pour obtenir E^(n*ln(1,22)) > E^(5*ln(10)). On en déduit n > 5*ln(10)/ln(1,22). En vérifiant la cohérence, on confirme que notre résultat est correct. En conclusion, il est important de revenir à la définition de la puissance avec l'exponentiel et le logarithme pour résoudre ces types de problèmes. N'hésitez pas à consulter la FAQ en cas de questions.