Opérations sur les bornes inférieure et supérieure

Dans ce cours, on aborde la méthode pour trouver les bornes sup et inf de deux ensembles A et B, qui sont eux-mêmes bornés et non vides. On veut montrer que les bornes sup et inf des ensembles A, B, A+B (l'ensemble des éléments résultats de l'addition des éléments de A et de B), etc. existent et que l'égalité sup A+B = sup A + sup B (et de même pour les bornes inf) est valable.Une borne sup est le plus petit majorant d'un ensemble, ce qui ne veut pas dire qu'il s'agit d'un maximum. Si M est la borne sup d'A, cela signifie qu'il existe un élément de A qui est situé à une distance inférieure à n'importe quelle distance ε de M. La borne sup peut être atteinte, mais ce n'est pas obligatoire. Un maximum est une borne sup qui est atteinte, mais pas toutes les bornes sup sont des maximums.Dans l'exercice, on utilise les bornes sup et inf pour trouver la borne sup de A+B. Le majorant est trouvé en faisant la somme des bornes sup d'A et de B, et on montre que sup A + sup B est inférieur à sup A+B. Ensuite, on montre que sup A+B est égal à sup A + sup B en revenant à la définition et en utilisant la distance entre Alpha/Alpha prime et A0/B0.La même méthode est utilisée pour trouver les bornes inf.