Dérivabilité par la définition formelle

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice mathématique portant sur le prolongement par continuité d'une fonction, sa dérivabilité et la continuité de sa dérivée. La fonction en question, notée f, est définie comme étant le produit de x au carré et du sinus de 1 sur x. Corentin commence par montrer que f peut être prolongée par continuité en 0. Il explique que f est continue sur l'ensemble des nombres réels positifs, car il s'agit du produit et de la composition de fonctions continues. Ensuite, il prouve que f a une limite finie en 0 en utilisant une inégalité et le concept d'encadrement. Ensuite, Corentin montre que f est dérivable sur l'ensemble des nombres réels. Il fait remarquer que f est dérivable sur les réels positifs, en utilisant le produit et la composition de fonctions dérivables. Pour prouver la dérivabilité en 0, il calcule le taux d'accroissement et montre que celui-ci tend vers 0 lorsque la variable tend vers 0. Enfin, Corentin démontre que la dérivée de f, notée f', n'est pas continue en 0. Il utilise la caractérisation séquentielle de la limite pour montrer qu'il existe une suite qui tend vers 0, mais dont la dérivée tend vers une valeur différente de 0. Par conséquent, il conclut que f n'est pas de classe C1 sur l'ensemble des nombres réels.