Cours de Analyse Asymptotique en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Analyse Asymptotique

Equivalents usuels

Dans cette vidéo, Corentin nous présente un exercice qui nous permet de comprendre le concept de suites équivalentes. Il commence par rappeler la définition des suites équivalentes : UN et VN sont équivalentes lorsque le quotient UN/VN tend vers 1 lorsque UN tend vers l'infini. Ensuite, il nous rappelle comment calculer la limite d'une fraction rationnelle en factorisant par le terme le plus fort. Il résout ensuite différentes questions : - Dans la question 1, il détermine si N est équivalent à N+1 lorsque N tend vers l'infini. En factorisant par N, il conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc N est bien équivalent à N+1 en plus l'infini. - Dans la question 2, il détermine si N^2+1 est équivalent à N^2 en plus l'infini. En factorisant par N^2, il conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc N^2+1 est bien équivalent à N^2 en plus l'infini. - Dans la question 3, il détermine si Ln(N) est équivalent à Ln(10^6N). En utilisant la propriété Ln(AB) = Ln(A) + Ln(B), il factorise par Ln(N) et conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc Ln(N) est bien équivalent à Ln(10^6N) en plus l'infini. - Dans la question 4, il détermine si Ln(N) est équivalent à Ln(N+10^6). En utilisant la propriété Ln(A+B) = Ln(A) + Ln(B), il conclut que la limite de cette expression ne tend pas vers 1, donc Ln(N) n'est pas équivalent à Ln(N+10^6). - Dans la question 5, il détermine si exp(N) est équivalent à exp(2N). En utilisant les propriétés des exponentielles, il conclut que la limite de leur quotient ne tend pas vers 1, donc exp(N) n'est pas équivalent à exp(2N). - Dans la question 6, il détermine si Ln(N) est équivalent à Ln(N+1). En décomposant Ln(N+1) en Ln(N) + Ln(1) + 1/N, il factorise par Ln(N) et conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc Ln(N) est bien équivalent à Ln(N+1). Corentin nous rappelle l'importance de ces concepts et nous encourage à bien les comprendre pour réussir nos exercices.

Equivalents niveau 2

Dans ce cours, l'exercice consiste à trouver les équivalents de différentes expressions. Pour cela, on utilise des méthodes de calcul et des propriétés mathématiques. La première question demande de trouver un équivalent de l'expression "Un" qui est égal à 1/(n-1) - 1/n + 1. Pour trouver cet équivalent, on passe au même dénominateur et on remarque que n^2 - 1 est équivalent à n^2. Donc Un est équivalent à 2/n^2. La deuxième question demande de déterminer un équivalent de l'expression "Vn" qui est égale à racine de n + 1 - racine de n - 1. On utilise le développement limité de racine de 1 + x et racine de 1 - x pour trouver que racine de n + 1 est équivalente à racine de n + 1/2*1/√n + petit o(1/√n). En simplifiant, on obtient que Vn est équivalent à 1/√n. La troisième question concerne l'expression "Wn" qui est complexe. On factorise cette expression et en simplifiant, on obtient que Wn est équivalente à -n/2. La dernière question demande de trouver un équivalent de l'expression "Zn" qui est égale à sin(2/√(n+1))/√(n+1) + 1/√(n+1). En utilisant le développement limité de sin(2x), on trouve que Zn est équivalente à 1/√(n+1). On utilise ensuite le résultat précédent pour dire que Zn est équivalente à 1/√n. En résumé, on a trouvé les équivalents suivants : - Un est équivalent à 2/n^2 - Vn est équivalent à 1/√n - Wn est équivalent à -n/2 - Zn est équivalent à 1/√n

Avec des factorielles

Ce cours montre que la somme de factoriel k pour k allant de 0 à n est équivalente à factoriel n. Pour prouver cela, on décompose la somme et on montre que chaque terme tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. En utilisant des techniques de majoration, on conclut que la somme totale tend vers 1, ce qui démontre l'équivalence recherchée.