Cours de Analyse Asymptotique en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Analyse Asymptotique

Equivalents usuels

Dans cette vidéo, Corentin nous présente un exercice qui nous permet de comprendre le concept de suites équivalentes. Il commence par rappeler la définition des suites équivalentes : UN et VN sont équivalentes lorsque le quotient UN/VN tend vers 1 lorsque UN tend vers l'infini. Ensuite, il nous rappelle comment calculer la limite d'une fraction rationnelle en factorisant par le terme le plus fort. Il résout ensuite différentes questions : - Dans la question 1, il détermine si N est équivalent à N+1 lorsque N tend vers l'infini. En factorisant par N, il conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc N est bien équivalent à N+1 en plus l'infini. - Dans la question 2, il détermine si N^2+1 est équivalent à N^2 en plus l'infini. En factorisant par N^2, il conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc N^2+1 est bien équivalent à N^2 en plus l'infini. - Dans la question 3, il détermine si Ln(N) est équivalent à Ln(10^6N). En utilisant la propriété Ln(AB) = Ln(A) + Ln(B), il factorise par Ln(N) et conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc Ln(N) est bien équivalent à Ln(10^6N) en plus l'infini. - Dans la question 4, il détermine si Ln(N) est équivalent à Ln(N+10^6). En utilisant la propriété Ln(A+B) = Ln(A) + Ln(B), il conclut que la limite de cette expression ne tend pas vers 1, donc Ln(N) n'est pas équivalent à Ln(N+10^6). - Dans la question 5, il détermine si exp(N) est équivalent à exp(2N). En utilisant les propriétés des exponentielles, il conclut que la limite de leur quotient ne tend pas vers 1, donc exp(N) n'est pas équivalent à exp(2N). - Dans la question 6, il détermine si Ln(N) est équivalent à Ln(N+1). En décomposant Ln(N+1) en Ln(N) + Ln(1) + 1/N, il factorise par Ln(N) et conclut que la limite de cette expression est égale à 1, donc Ln(N) est bien équivalent à Ln(N+1). Corentin nous rappelle l'importance de ces concepts et nous encourage à bien les comprendre pour réussir nos exercices.

Equivalents niveau 2

Dans ce cours, l'exercice consiste à trouver les équivalents de différentes expressions. Pour cela, on utilise des méthodes de calcul et des propriétés mathématiques. La première question demande de trouver un équivalent de l'expression "Un" qui est égal à 1/(n-1) - 1/n + 1. Pour trouver cet équivalent, on passe au même dénominateur et on remarque que n^2 - 1 est équivalent à n^2. Donc Un est équivalent à 2/n^2. La deuxième question demande de déterminer un équivalent de l'expression "Vn" qui est égale à racine de n + 1 - racine de n - 1. On utilise le développement limité de racine de 1 + x et racine de 1 - x pour trouver que racine de n + 1 est équivalente à racine de n + 1/2*1/√n + petit o(1/√n). En simplifiant, on obtient que Vn est équivalent à 1/√n. La troisième question concerne l'expression "Wn" qui est complexe. On factorise cette expression et en simplifiant, on obtient que Wn est équivalente à -n/2. La dernière question demande de trouver un équivalent de l'expression "Zn" qui est égale à sin(2/√(n+1))/√(n+1) + 1/√(n+1). En utilisant le développement limité de sin(2x), on trouve que Zn est équivalente à 1/√(n+1). On utilise ensuite le résultat précédent pour dire que Zn est équivalente à 1/√n. En résumé, on a trouvé les équivalents suivants : - Un est équivalent à 2/n^2 - Vn est équivalent à 1/√n - Wn est équivalent à -n/2 - Zn est équivalent à 1/√n

Equivalents et signe

Ce cours porte sur la comparaison d'équivalences de fonctions exponentielles. On considère deux fonctions f et g définies au voisinage d'un réel A. On veut montrer que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g si et seulement si la limite en A de f-g est égale à zéro. Pour démontrer cette équivalence, on raisonne par équivalence et on utilise la définition de l'équivalent. On sait que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g en A, ce qui signifie que exponentielle de f divisé par exponentielle de g tend vers 1 en A. En passant par le logarithme naturel des deux côtés et en utilisant la continuité du logarithme, on obtient que f-g tend vers 0 en A. Ensuite, on se demande si le fait que f soit équivalent à g en A implique forcément que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g en A. La réponse est non. On trouve un contre-exemple en prenant f(x)=x et g(x)=x+1. On a f équivalent à g car x+1 est équivalent à x, mais exponentielle de f(x) n'est pas équivalent à exponentielle de g(x) car leur quotient n'est pas égal à 1. En conclusion, on constate qu'on ne peut pas composer librement les équivalents et il faut être prudent dans les compositions de fonctions. Dans certains cas particuliers, cela peut être possible, mais en général, il faut faire attention.

Avec des factorielles

Ce cours montre que la somme de factoriel k pour k allant de 0 à n est équivalente à factoriel n. Pour prouver cela, on décompose la somme et on montre que chaque terme tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. En utilisant des techniques de majoration, on conclut que la somme totale tend vers 1, ce qui démontre l'équivalence recherchée.

Equivalence de sommes partielles

Dans ce cours, nous étudions les équivalents de séries réelles positives. Nous cherchons à montrer que si la série Un est équivalente à Vn et si la limite de Vn tend vers l'infini, alors nous pouvons sommer ces équivalents. Ensuite, nous appliquons ces résultats à deux exemples : trouver un équivalent de la série 1/√k et de la série ln(k). Nous montrons que la première série est équivalente à 2√n et que la deuxième série est équivalente à nln(n).