Lemme de Césaro

Dans ce cours, on étudie une suite U définie par U0 et Un+1 = sin(Un). Dans la première partie, on montre que cette suite est strictement positive, décroissante et tend vers zéro. On utilise le fait que le sinus est croissant sur l'intervalle [0, π/2] et que sin(0) = 0. Ensuite, on admet que si une suite U a pour limite zéro, alors sin(Un) = Un - Un^3/6 + petit o (Un^3). On cherche alors à déterminer un réel alpha tel que la suite Vn = Un+1^alpha - Un^alpha ait une limite réelle non nulle. En utilisant le développement limité de sin(Un), on trouve que Vn est équivalent à 1/3 + petit o (1). En appliquant le lemme de Césaro à la suite Vn, on obtient un équivalent simple de Un lorsque n tend vers l'infini. On utilise une somme télescopique et on trouve que 1/Un^2 est équivalent à 3/n. En conclusion, on peut dire que la suite U est équivalente à la racine carrée de 3/n lorsque n tend vers l'infini.