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Relation fondamentale

Aujourd'hui, nous allons examiner la relation fondamentale de la statique des fluides. Cette relation sera utilisée dans tous les problèmes de statique des fluides. Pour cela, nous allons analyser les forces s'appliquant sur un élément de fluide, représenté par un petit cube de volume dv. Les forces qui s'appliquent sur cet élément sont les suivantes : le poids dirigé vers le bas et la résultante des forces de pression exercées par le fluide environnant. La résultante des forces de pression est représentée par F, que nous avons déjà vu comme étant égale à moins grade p dv. Le poids est représenté par ρ dv fois g, où ρ est la masse volumique du fluide. En statique, la somme des forces sur le volume de fluide est nulle. Ainsi, nous obtenons l'équation grade p = ρg.

Atmosphère isotherme

Aujourd'hui, nous allons étudier la statique des fluides dans l'atmosphère isotherme. Ce modèle est utilisé couramment en mécanique des fluides. L'objectif est de déterminer la distribution de pression dans l'atmosphère en supposant qu'elle a une température constante partout. Bien que cette hypothèse ne soit pas tout à fait exacte, elle constitue une bonne approximation et est souvent utilisée dans les exercices et les concours. Pour commencer, nous devons déterminer la position de l'axe z, qui est choisi dirigé vers le haut. Il est important de faire ce choix correctement, car il influence la projection de la relation fondamentale de la statique des fluides. Dans notre cas, cette relation est donnée par dp/dz = -ρg, où ρ représente la densité et g est le vecteur gravité. Nous avons une équation différentielle en z pour décrire le champ de pression. Cependant, la densité ρ n'est pas constante et nous devons l'éliminer. Pour cela, nous utilisons la loi des gaz parfaits, que nous réécrivons en termes de densité (ρ) plutôt que de volume (V). En réinjectant cette expression dans notre équation différentielle, nous obtenons dp/dz + p(ρM)/(rtg) = 0. Dans cette équation, tout ce qui est en bleu est une constante car nous considérons l'atmosphère isotherme. Nous définissons donc cette constante comme étant égale à 1/h. En résolvant cette équation homogène, nous obtenons une expression pour la pression, p(z) = p0 * exp(-z/h), où p0 est une constante. Cette équation est souvent utilisée pour décrire la pression dans l'atmosphère selon le modèle isotherme. Dans l'atmosphère terrestre, la valeur typique de h est d'environ 8 km. Il est donc important de retenir que la pression varie exponentiellement avec l'altitude selon ce modèle. J'espère que ce résumé vous a été utile. Les points clés à retenir sont de faire attention au choix de l'axe z et d'éliminer correctement les grandeurs dans l'équation différentielle, comme nous l'avons fait avec la densité ρ.

Forces de pression

Dans ce cours, nous allons étudier la résultante des forces de pression dans la statique des fluides. Cette question est utile pour démontrer la relation fondamentale de la statique des fluides. Bien que cette question ne soit pas souvent demandée aux concours, il est important de comprendre d'où vient cette loi fondamentale. Pour démontrer cela, nous allons utiliser un petit élément de fluide cubique et analyser les forces de pression qui s'exercent sur chaque face de cet élément. Nous allons décomposer ces forces pour chaque face et prendre en compte la direction dans laquelle elles s'exercent. En utilisant la formule F = P*S, où F est la force de pression, P est la pression et S est la surface, nous pouvons déterminer ces forces pour chaque face. En faisant un développement limité, nous obtenons finalement la résultante des forces de pression, qui est égale à moins le gradient de P. Il est important de noter que cette force est volumique, car elle s'exerce sur chaque élément de fluide. Par conséquent, nous utilisons la notation f pour représenter cette force. La relation fondamentale de la statique des fluides est donc moins le gradient de P = ρG, où ρ est la densité du fluide et G est l'accélération gravitationnelle. En résumé, cette leçon explique la démonstration de la résultante des forces de pression dans la statique des fluides. Elle montre comment utiliser le moins le gradient de P pour représenter cette force volumique. Cette relation est importante pour comprendre la loi fondamentale de la statique des fluides.

Glaçon

Aujourd'hui, nous étudions la fonte d'un glaçon dans un verre cylindrique contenant de l'eau liquide. Nous devons déterminer le volume immergé du glaçon en utilisant le principe d'Archimède et le principe fondamental de la dynamique. La poussée d'Archimède du glaçon est égale à son poids, donc nous pouvons calculer le volume immergé en utilisant les masses volumiques de l'eau liquide et de l'eau solide. Le volume immergé est donné par la formule : Vim = (ρgV0)/(ρ), où ρg est la masse volumique de l'eau liquide, V0 est le volume du glaçon et ρ est la masse volumique de l'eau solide. Ensuite, nous devons déterminer la différence entre la hauteur finale de l'eau (h1) après la fonte du glaçon et la hauteur initiale de l'eau (h0). En utilisant la conservation de la masse, nous pouvons établir que le volume du liquide une fois que le glaçon a fondu est égal au volume immergé. Finalement, nous examinons le cas où un glaçon d'eau pure est placé dans de l'eau salée. La masse volumique de l'eau salée est plus grande que celle de l'eau pure en raison de la présence de sel. En utilisant les mêmes principes, nous constatons que le volume immergé du glaçon est plus petit que le volume initial. Ainsi, lorsque le glaçon fond, la hauteur de l'eau dans le verre augmente. En résumé, nous utilisons les principes d'Archimède et le principe fondamental de la dynamique pour déterminer le volume immergé d'un glaçon et la différence de hauteur de l'eau avant et après sa fonte.

Barrage

Dans cette vidéo, nous étudions la statique des fluides sur un barrage hémicylindrique. L'objectif est de calculer la résultante des forces de pression exercées sur le barrage. Tout d'abord, nous déterminons la pression à l'altitude z en utilisant le principe fondamental de la statique. Nous trouvons que la pression p(z) est égale à p0 - ρgz - h, où p0 est la pression atmosphérique, ρ est la masse volumique de l'eau, g est l'accélération due à la pesanteur et h est la hauteur du barrage. Ensuite, nous analysons la force élémentaire df exercée sur un élément de surface ds du barrage. Nous observons que cette force se compose de deux parties : la pression exercée par l'eau (p0) et la pression exercée par l'air (pr), qui agissent dans des directions opposées. Nous déterminons que la force élémentaire df est égale à -(ρgh - z) ds ur, où ur est un vecteur unitaire dans la direction radiale. Pour obtenir la résultante des forces de pression, nous projetons les forces élémentaires sur la direction radiale (ur) et observons que les forces se compensent mutuellement, à l'exception de la composante verticale. Ainsi, la résultante des forces de pression est uniquement dans la direction verticale (uy). Nous trouvons que fy = -ρgh². Finalement, nous commentons sur la conception du barrage et expliquons qu'il doit être solide et bien fixé au sol pour résister aux forces de pression de l'eau. Cela implique généralement l'utilisation de forces de frottement entre les fondations du barrage et le sol pour maintenir sa stabilité. En résumé, nous avons étudié la statique des fluides sur un barrage hémicylindrique et calculé la résultante des forces de pression. Nous avons également discuté de l'importance de la conception et de la consolidation du barrage pour lui permettre de résister aux forces exercées par l'eau.

Baromètre

Dans cet exercice de statique des fluides sur un baromètre, nous étudions la détermination de la hauteur d'un building situé à Taipei en utilisant la pression atmosphérique et l'intensité de la pesanteur. Nous utilisons le modèle de l'atmosphère isotherme pour déterminer l'expression de la masse volumique en fonction de la masse molaire de l'air. Ensuite, nous utilisons cette expression pour obtenir une équation différentielle en P qui nous permet de déterminer la variation de pression en fonction de l'altitude. Nous déduisons ensuite le champ de pesanteur en fonction de l'altitude en utilisant la constante de gravitation universelle, le rayon de la Terre et un développement limité. Nous étudions également la validité de l'hypothèse selon laquelle l'accélération de la pesanteur reste constante dans l'atmosphère. Nous calculons la différence relative de l'accélération de la pesanteur pour différentes altitudes et constatons qu'elle est insignifiante. Ensuite, nous passons à l'étude du baromètre et déterminons la relation entre la pression atmosphérique et la hauteur mesurée avec le baromètre. Nous utilisons la loi de la statique des fluides pour relier la différence de pression entre deux points à la hauteur mesurée. Finalement, nous établissons le lien entre les millimètres de mercure et les pascals, une unité couramment utilisée pour exprimer la pression. En résumé, cet exercice aborde la statique des fluides, l'utilisation du modèle de l'atmosphère isotherme, les développements limités, la vérification d'hypothèses et l'utilisation d'un baromètre pour mesurer la pression atmosphérique.