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Corrigés de BAC
Bac Maths
Terminale
Suites et fonctions - Centres étrangers 2022
Dans cet exercice de BAC, nous devons étudier les exponentielles et les suites. Nous commençons par trouver les limites de la fonction h(x) = e^x - x. On détermine les limites lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. En utilisant la méthode de factorisation, nous trouvons que la limite de h en plus l'infini est plus l'infini et la limite de h en moins l'infini est plus l'infini. Ensuite, nous analysons les variations de h en utilisant sa dérivée. Nous trouvons que h est décroissante pour x négatif et croissante pour x positif. Nous dressons un tableau de variations en utilisant les limites trouvées précédemment.
Ensuite, nous étudions la fonction f(x) = e^x et trouvons son équation de tangente au point d'abscisse 0. En utilisant la dérivée de f, nous trouvons que la tangente a pour équation y = x + 1.
Ensuite, nous introduisons la suite un = e^(1/n) - 1/n - 1 et déterminons sa limite lorsque n tend vers plus l'infini. En utilisant les propriétés des limites, nous trouvons que la limite de un est 0.
Enfin, nous démontrons que pour tout entier naturel non nul n, un+1 - un = h(1/(n+1)) - h(1/n). En utilisant les résultats précédents sur les variations de h, nous trouvons que la suite un est décroissante.
En utilisant un tableau de valeurs, nous trouvons la plus petite valeur de n pour laquelle l'écart entre la tangente et la courbe de f est inférieur à 0,01. En lisant dans le tableau, nous trouvons que n = 8 est la valeur recherchée.
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Probabilités - Centres étrangers 2022
Dans cet exercice, nous abordons les notions de probabilités et de variables aléatoires. Nous sommes dans le contexte de la fabrication de paires de lunettes et nous avons deux traitements possibles, T1 et T2. Nous devons calculer différentes probabilités, notamment en utilisant les probabilités conditionnelles et la loi binomiale.
Nous commençons par remplir un tableau en utilisant les probabilités données dans l'énoncé. Ensuite, nous calculons la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour au moins un des deux traitements. Pour cela, nous utilisons la formule de l'union des événements.
Ensuite, nous calculons la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour les deux traitements. Pour cela, nous utilisons la formule de l'intersection des événements.
Nous vérifions ensuite si les événements A et B sont indépendants en utilisant la formule des probabilités conditionnelles.
Nous calculons ensuite la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour un seul des deux traitements, en utilisant la formule de l'union des événements moins la probabilité de l'intersection.
Nous calculons également la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2, sachant qu'elle présente un défaut pour le traitement T1 en utilisant la formule des probabilités conditionnelles.
Ensuite, nous passons à la partie B de l'exercice, où nous considérons un échantillon de 50 paires de verres prélevées au hasard dans la production. Nous introduisons la variable aléatoire X, qui compte le nombre de paires de verres présentant le défaut pour le traitement T1 dans cet échantillon.
Nous montrons que X suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,1.
En utilisant la formule de la probabilité d'une loi binomiale, nous calculons la probabilité d'avoir exactement 10 paires de verres présentant ce défaut dans l'échantillon.
Nous calculons également l'espérance de la variable aléatoire X, qui donne en moyenne le nombre de paires de verres dans un échantillon de 50 avec ce défaut.
Cela conclut l'exercice sur les probabilités.
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Géométrie - Centres étrangers 2022
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MPSI/PCSI
Suites et fonctions - Centres étrangers 2022
Cours sur les exponentiels et les suites: la partie exponentielle consiste en l'étude de fonctions. Nous examinons les limites en l'infini, en moins l'infini, zéro ou un certain nombre. Nous devons faire un tableau de variation, montrer des inégalités et résoudre des équations de tangente. Il y a également des limites de suite à examiner et des variations de suite à déterminer. Tout cela est nécessaire pour réussir l'examen du BAC.
Dans la première partie de l'exercice, nous devons déterminer les limites de la fonction h(x) = e^x - x lorsque x tend vers plus l'infini et moins l'infini. En utilisant la méthode de factorisation, nous trouvons que la limite de h(x) en plus l'infini est plus l'infini et la limite de h(x) en moins l'infini est moins l'infini.
Ensuite, nous devons étudier les variations de h et dresser son tableau de variation. En dérivant la fonction, nous trouvons que sa dérivée est positive lorsque x est positif et négative lorsque x est négatif. En utilisant ces informations, nous dressons le tableau de variation de h.
La partie suivante concerne l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse 0. En utilisant les dérivées de f, nous déterminons que l'équation de la tangente est y = x + 1.
Enfin, nous abordons la suite un = e^(1/n) - 1/n - 1 et déterminons sa limite qui est de 0. Nous devons ensuite démontrer que pour tout entier naturel non nul n, un+1 - un = h(1/(n+1)) - h(1/n). En utilisant les propriétés de h, nous montrons que cette égalité est vraie.
Pour la dernière partie de l'exercice, nous utilisons un tableau de valeurs pour déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel pour laquelle l'écart entre la tangente et la courbe de f est inférieur à 0,01. En regardant le tableau, nous trouvons que lorsque n est égal à 8, l'écart est inférieur à 0,01.
En résumé, cet exercice porte sur les exponentiels et les suites. Nous devons déterminer des limites, étudier les variations de fonctions, résoudre des équations de tangente et examiner les variations de suites.
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Probabilités - Centres étrangers 2022
Cet exercice porte sur les probabilités et concerne la fabrication de paires de lunettes. Il y a deux traitements, T1 et T2, pour lesquels on souhaite calculer les probabilités de présence de défauts. On utilise les probabilités conditionnelles, l'indépendance, la loi binomiale, ainsi que la formule des probabilités totales.
Le tableau fourni présente les probabilités de présence de défauts pour chaque traitement, ainsi que la probabilité qu'aucune des deux paires ne présente de défaut. On peut remplir le reste du tableau en utilisant les sommes de probabilités.
On peut ensuite calculer la probabilité qu'une paire de verres présente au moins un défaut pour l'un des traitements en utilisant la formule de l'union. On trouve ainsi une probabilité de 0,25.
La probabilité d'avoir deux défauts pour chaque traitement correspond à la probabilité d'intersection, et est égale à 0,05.
Les événements A et B ne sont pas indépendants car le produit de leurs probabilités n'est pas égal à la probabilité de leur intersection.
La probabilité d'avoir exactement un défaut pour un seul des traitements correspond à la probabilité de l'union moins la probabilité de l'intersection. On trouve une probabilité de 0,2.
La probabilité d'avoir un défaut pour le traitement T2 sachant qu'il y a un défaut pour le traitement T1 est égale à 0,5.
Dans la partie B de l'exercice, on considère un échantillon de 50 paires de verres. On déclare une variable aléatoire X qui représente le nombre de paires de verres présentant le défaut pour le traitement T1 dans cet échantillon. On peut justifier qu'il s'agit d'une loi binomiale en donnant les paramètres correspondants.
Pour calculer la probabilité d'avoir exactement 10 paires de verres présentant ce défaut dans l'échantillon, on utilise la formule de la loi binomiale avec les paramètres n = 50 et p = 0,1. On trouve une probabilité de 0,015.
L'espérance du nombre de défauts dans un échantillon de 50 paires est égale à 5, en utilisant la formule de l'espérance pour une loi binomiale.
C'est ainsi que se conclut cet exercice sur les probabilités en utilisant la transcription d'une vidéo.
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