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Déterminer un PGCD

Dans cet exercice, nous utilisons l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD de 18840 et 9828. L'algorithme d'Euclide consiste en une série de divisions euclidiennes. Nous commençons en divisant le plus grand nombre par le plus petit. Ainsi, nous obtenons 18840 divisé par 9828, ce qui donne 9828 multiplié par 1, plus 9012 comme reste. Ensuite, nous divisons le diviseur (9828) par le reste (9012). Nous répétons ce processus jusqu'à obtenir un reste de 0. Ainsi, nous avons 9828 divisé par 9012, ce qui donne 9012 multiplié par 1, plus 816 comme reste. Nous continuons avec 9012 divisé par 816, ce qui donne 816 multiplié par 11, plus 36 comme reste. Nous poursuivons avec 816 divisé par 36, ce qui donne 36 multiplié par 22, plus 24 comme reste. Ensuite, nous avons 36 divisé par 24, ce qui donne 24 multiplié par 1, plus 12 comme reste. Enfin, nous divisons 24 par 12, ce qui donne 12 multiplié par 2, plus 0 comme reste (qui est un multiple de 12). À ce stade, nous avons atteint un reste de 0, nous arrêtons donc l'algorithme d'Euclide. Le dernier reste non nul (12) est le PGCD de 18840 et 9828. Ainsi, le PGCD de 18840 et 9828 est 12.

Différence et quotient

Dans cet exercice, la différence entre deux entiers est de 538. Lorsqu'on divise l'un par l'autre, le quotient est de 13 et le reste est de 34. Pour résoudre ce problème, on commence par modéliser les deux entiers recherchés par A et B. On suppose que A est plus grand que B, car la différence est de 538 et donc ils ne peuvent pas être égaux. Nous avons deux informations: la différence est de 538 et lors de la division euclidienne, le quotient est de 13 et le reste est de 34. Nous écrivons donc les équations suivantes: A - B = 538 et A = 13B + 34. En résolvant ce système d'équations, nous trouvons que B = 42. En remplaçant B par sa valeur dans l'équation A - B = 538, nous trouvons que A = 580. Ainsi, les deux nombres recherchés sont A = 580 et B = 42.

PGCD qui dépend de n

Dans cet exercice, on cherche à trouver les entiers naturels n pour lesquels le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 3. On utilise l'algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD. En faisant la division euclidienne de 2n + 3 par n, on obtient 2n + 3 = 2 * n + 3. Le PGCD étant égal à 3, cela signifie que le dernier reste non nul est égal à 3. Donc, si on divise n par 3, il doit rester un reste nul, ce qui montre que n est divisible par 3. Ainsi, si le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 3, alors n est multiple de 3. Ensuite, on cherche les entiers naturels n pour lesquels le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 1. Si n est multiple de 3, cela est exclu car on a montré que le PGCD serait égal à 3. On suppose donc que n peut s'écrire sous la forme 3k + 2. En faisant la division euclidienne de 2n + 3 par n, on obtient 2n + 3 = 2 * n + 3. En divisant n par 3, on obtient n = 3 * k + 2. En continuant l'algorithme d'Euclide, on divise 3 par 2 et on obtient 3 = 2 * 1 + 1. Le dernier reste non nul est égal à 1, donc le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 1 lorsque n peut s'écrire sous la forme 3k + 2. De plus, si n s'écrit sous la forme 3k + 1, on obtient le même résultat en faisant l'algorithme d'Euclide. Finalement, si n n'est pas multiple de 3, le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 1.

Autre dépendance en n

Dans cet exercice, nous devons déterminer le PGCD de deux entiers, a et b, en fonction de la valeur de n. Pour simplifier le calcul, nous souhaitons éliminer la variable n et nous concentrer uniquement sur le PGCD. Nous utilisons donc une combinaison linéaire de a et b pour éliminer n, ce qui nous donne l'équation 3a-b. Comme le PGCD de a et b divise cette combinaison linéaire, il divise également le nombre 5. Étant donné que 5 est un nombre premier, cela signifie que le PGCD ne peut être que 1 ou 5. Nous examinons ensuite ces deux cas séparément pour déterminer les valeurs possibles de n. Si le PGCD est égal à 5, cela signifie que a est divisible par 5 (congru à 0 modulo 5). En utilisant l'expression de a (n+4), nous constatons que n doit être congru à 1 modulo 5 pour satisfaire cette condition. D'autre part, si le PGCD est égal à 1, cela signifie que n n'est pas congru à 1 modulo 5. En conclusion, le PGCD de a et b est égal à 5 si et seulement si n est congru à 1 modulo 5, et il est égal à 1 si et seulement si n n'est pas congru à 1 modulo 5.

PGCD et n carré

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PGCD et PPCM

Dans cet exercice, nous devons trouver deux nombres en utilisant le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le PPCM (Plus Petit Commun Multiple). Les informations que nous avons sont que A est plus petit que B, et que leur PGCD est égal à 6 et leur PPCM est égal à 102. Nous pouvons utiliser une formule qui relie ces nombres : le produit de deux nombres est égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM. Nous pouvons donc utiliser une propriété du PGCD pour trouver A' et B', tels que A = 6*A' et B = 6*B', et A' et B' sont premiers entre eux. En écrivant cette formule avec les valeurs de A et B, nous obtenons 6*A'*6*B' = 6*102. Nous simplifions en divisant par 6 et en remarquant que 102 = 6*17, nous obtenons A'*B' = 17. Nous savons que A' et B' sont premiers entre eux et que leur produit vaut 17, qui est un nombre premier. Sachant que A' est plus petit que B', nous pouvons conclure que A' = 1 et B' = 17. Maintenant, nous pouvons trouver A et B en utilisant les équations A = 6*A' et B = 6*B'. Donc, A = 6*1 = 6 et B = 6*17 = 102. Ainsi, A = 6 et B = 102 sont les deux nombres recherchés.

PGCD et congruences

Dans cet exercice, nous devons montrer une équivalence entre deux systèmes de congruence. Le premier système stipule que 'n' est congruent à 1 modulo 5 et congruent à 5 modulo 7. Pour prouver cela, nous examinons les deux lignes du système. Dans la première ligne, nous remarquons que si 'n' est congruent à 1 modulo 5, alors 4n + 1 est congruent à 0 modulo 5. Dans la deuxième ligne, si 'n' est congruent à 5 modulo 7, alors 4n + 1 est congruent à 0 modulo 7. En utilisant le corollaire du théorème de Gauss, qui stipule que si deux nombres A et B sont premiers entre eux et divisent un nombre C, leur produit AB divise également C, nous concluons que 5 et 7 étant premiers entre eux, leur produit divise 4n + 1. Ainsi, nous obtenons que 4n + 1 est congruent à 0 modulo 35. Pour résoudre ce système, nous cherchons à isoler 'n'. En utilisant une méthode spécifique pour résoudre des équations de la forme AX congruent à B modulo n, nous trouvons un entier k tel que 4k est congruent à 1 modulo 35. En multipliant les deux côtés de l'équation par k, nous obtenons que 'n' est congruent à 26 modulo 35. Les solutions de ce système sont donc tous les nombres de la forme 26 + 35k, avec k appartenant à Z.

PGCD et Suite

Dans cet exercice, nous étudions une suite définie par récurrence et nous cherchons à montrer qu'elle est une suite géométrique. La première suite, notée un, est donnée par u0=0, u1=1, et un+2=3un+1-2un. La deuxième suite, notée vn, est définie comme vn=un+1-un. Nous devons déterminer la raison et le premier terme de la suite géométrique vn. Pour montrer que vn est une suite géométrique, nous calculons vn+1 et essayons de l'écrire sous la forme d'un multiple de vn. En utilisant la relation de récurrence pour un, nous obtenons vn+1=2vn. Ainsi, nous avons démontré que vn est une suite géométrique de raison 2 et que le premier terme v0 est égal à 1. Ensuite, nous devons déduire que pour tout entier n, un+1=2(un+1). Cette question peut sembler étrange car elle concerne la suite vn dont nous venons de montrer qu'elle est géométrique. Cependant, il faut remarquer que vn est construite de manière particulière. En fait, vn est la différence entre deux termes consécutifs de la suite un. Nous pouvons alors utiliser une somme télescopique pour trouver une relation entre un et un+1. En effectuant cette somme, nous obtenons un+1=2(un+1). Ainsi, nous avons prouvé que pour tout entier n, un+1 est égal à 2(un+1). Enfin, nous devons déduire que deux termes consécutifs de la suite un sont premiers entre eux. Pour cela, nous utilisons le théorème de Bézout, qui stipule qu'une combinaison linéaire de deux entiers est égale à leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). En utilisant l'égalité un+1=un+1-2un, nous obtenons que le PGCD de un et un+1 est égal à un. Par conséquent, deux termes consécutifs de la suite un sont bien premiers entre eux.