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PGCD

Dans cet exercice, nous devons déterminer le PGCD de deux entiers, a et b, en fonction de la valeur de n. Pour simplifier le calcul, nous souhaitons éliminer la variable n et nous concentrer uniquement sur le PGCD. Nous utilisons donc une combinaison linéaire de a et b pour éliminer n, ce qui nous donne l'équation 3a-b. Comme le PGCD de a et b divise cette combinaison linéaire, il divise également le nombre 5. Étant donné que 5 est un nombre premier, cela signifie que le PGCD ne peut être que 1 ou 5. 

Nous examinons ensuite ces deux cas séparément pour déterminer les valeurs possibles de n. Si le PGCD est égal à 5, cela signifie que a est divisible par 5 (congru à 0 modulo 5). En utilisant l'expression de a (n+4), nous constatons que n doit être congru à 1 modulo 5 pour satisfaire cette condition.

D'autre part, si le PGCD est égal à 1, cela signifie que n n'est pas congru à 1 modulo 5. 

En conclusion, le PGCD de a et b est égal à 5 si et seulement si n est congru à 1 modulo 5, et il est égal à 1 si et seulement si n n'est pas congru à 1 modulo 5.

Salut ! Dans cet exercice, on va encore voir un PGCD qui va dépendre de n. Donc là, on nous dit qu'on a deux entiers, a qui vaut n plus 4 et b qui vaut 3n plus 7. D'accord ? Donc les deux, ils dépendent de n, qu'un entier naturel quelconque pour le moment. Et on nous demande de déterminer le PGCD de a et b suivant les valeurs de n. Pour l'instant, on ne sait pas trop par où partir, donc on va essayer de voir ce qu'on peut faire. Donc déjà, on note D, le PGCD de a et b. Donc là, ce qu'il faut faire, c'est... on aimerait bien se débarrasser un peu de n pour juste se concentrer sur le PGCD. Donc on va faire une combinaison linéaire de b et de a pour faire sauter les n. Parce que D, c'est le PGCD de a et b, donc il divise a, il divise b, et donc il divise n'importe quelle combinaison linéaire, entière bien sûr, de a et de b. Donc en particulier, il va diviser 3a moins b. 3a moins b, ça fait sauter les n, donc ça veut dire qu'il divise 5. Et bien ça, c'est une information précieuse, parce que si le PGCD divise 5, étant donné que 5, il est premier, ça veut dire que D, c'est soit 1, soit 5. C'est les seules possibilités comme diviseur de 5. Et bien du coup, on va regarder toutes ces situations une par une, enfin il n'y en a que deux, mais on va regarder ce qui se passe. Donc si D, c'est égal à 5, ça veut dire que a est congru à 0 modulo 5. Si D divise a, et que D, c'est égal à 5, en gros si a, c'est un multiple de 5, a est congru à 0 modulo 5. Donc a, c'est n plus 4, donc si n plus 4 est congru à 0 modulo 5, ça veut dire que n est congru à 1 modulo 5. D'accord ? Donc ensuite, on a la situation où D est égal à 1. Et si D est égal à 1, ça veut dire que n n'est pas congru à 1 modulo 5. Donc finalement, le PGCD de a et b, c'est 5 si et seulement si n est congru à 1 modulo 5, et c'est 1 si et seulement si n n'est pas congru à 1 modulo 5.

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