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Révisions Maths lycée
Géométrie Terminale
MPSI/PCSI
Trouver l'équation d'un plan avec un vecteur normal
Dans ce cours, on aborde la notion de plan dans l'espace. Pour vérifier si trois points (A, B, C) définissent un plan, il faut s'assurer qu'ils ne sont pas alignés. On peut le faire en vérifiant si les vecteurs formés par ces points sont collinéaires ou non.
Pour illustrer, on propose de calculer le vecteur AB. On constate qu'il est différent du vecteur AC, ce qui signifie que les points ne sont pas alignés. Ensuite, on explique qu'il est possible de se perdre dans des fausses pistes lors de l'étude de la géométrie, mais il est préférable de connaître plusieurs exercices par cœur pour pouvoir reconnaître rapidement les bonnes pistes.
Ensuite, on aborde la manière de déterminer une équation cartésienne du plan ABC. Pour cela, on cherche d'abord le vecteur normal au plan, en utilisant les produits scalaires entre ce vecteur et les vecteurs A, B et A, C. On obtient ainsi deux équations pour les trois inconnues (A, B, C). Cela signifie qu'il existe une infinité de vecteurs normaux possibles, et on peut choisir celui qui convient le mieux.
En résolvant les équations, on trouve que B est égal à 0. Ainsi, le vecteur normal peut être choisi comme étant (0, A, 0). On explique alors que l'équation cartésienne du plan peut être formulée comme 1x + Ay + 1z = 0.
En conclusion, on explique qu'il est possible de trouver l'équation cartésienne d'un plan en deux étapes. D'abord, on cherche un vecteur normal en utilisant les produits scalaires. Ensuite, on utilise ce vecteur normal pour trouver rapidement l'équation cartésienne.
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Géométrie Terminale
MPSI/PCSI
Trouver un plan avec 3 points
Le cours explique comment trouver l'équation cartésienne d'un plan passant par un point donné avec un vecteur normal donné. Il présente deux méthodes pour cela. La première méthode consiste à utiliser l'équation générale du plan, qui est de la forme ax + by + cz + d = 0, en utilisant les coordonnées du vecteur normal (abc). Cette méthode est utilisée de manière pratique sans démonstration. La deuxième méthode est préférée par l'auteur car elle repose sur une démonstration plus complète. Elle utilise le concept de vecteur normal orthogonal au plan. Un point M appartiendra au plan si et seulement si le vecteur GM est orthogonal au vecteur normal. En utilisant cette propriété, on peut écrire l'équation du plan en utilisant le produit scalaire entre le vecteur GM et le vecteur normal. Cette équation donne les mêmes résultats que la première méthode. L'auteur souligne l'importance de comprendre la définition profonde d'un vecteur normal, qui est d'être orthogonal à tous les vecteurs du plan.
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Géométrie Terminale
BCPST
Trouver l'équation d'un plan avec un vecteur normal
Dans ce cours, nous abordons la question de savoir si les points ABC définissent un plan de l'espace. Il est établi que la seule condition pour que les points ABC ne définissent pas un plan est qu'ils soient alignés. Pour vérifier cela, nous pouvons calculer les vecteurs AB et AC pour voir s'ils sont collinéaires. En effectuant ces calculs, nous constatons que les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie qu'ils ne sont pas collinéaires. Ainsi, les points ABC définissent bien un plan dans l'espace.
Ensuite, nous cherchons à déterminer une équation cartésienne du plan ABC. Pour ce faire, nous devons trouver un vecteur normal au plan. Nous utilisons les produits scalaires de ce vecteur avec les points A, B et A, C pour obtenir deux équations. En résolvant ces équations, nous trouvons que B est égal à 0, ce qui signifie que les coordonnées des vecteurs sont égales et donc, nous pouvons choisir un vecteur normal simplifié de 1, 0, 1.
En résumé, pour déterminer si des points définissent un plan dans l'espace, nous vérifions si les vecteurs formés par ces points sont collinéaires. Ensuite, pour trouver une équation cartésienne du plan, nous trouvons un vecteur normal en utilisant les produits scalaires avec les points et résolvons les équations.
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Géométrie Terminale
BCPST
Trouver un plan avec 3 points
La méthode consiste à trouver une équation cartésienne d'un plan passant par un certain point avec un certain vecteur normal. Il existe deux méthodes pour cela. La première méthode consiste à utiliser l'équation du type "ax + by + cz + d = 0", en utilisant les coordonnées du vecteur normal. Cependant, cette méthode est plus utilisée par mémoire et ne nécessite pas une démonstration complète. La seconde méthode, préférée par l'auteur, consiste à utiliser la définition du vecteur normal. En effet, un point M appartient au plan si et seulement si le vecteur GM est orthogonal au vecteur normal N. Les points M pour lesquels les vecteurs GM sont orthogonaux sont donc les points du plan. Ainsi, on peut écrire l'équation "GM⋅N = 0" et simplifier en développant les coordonnées du vecteur GM pour obtenir l'équation finale du plan. Cette méthode rappelle la définition profonde d'un vecteur normal, qui est un vecteur orthogonal à tous les vecteurs du plan.
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Géométrie Terminale
ECG
Trouver l'équation d'un plan avec un vecteur normal
Dans ce cours, nous étudions la définition d'un plan dans l'espace à partir de trois points non alignés, notés ABC. Pour que ces points définissent un plan, ils ne doivent pas être alignés. Afin de le vérifier, nous examinons si les vecteurs formés par les points ABC sont collinéaires ou non. Nous calculons le vecteur AB et constatons qu'il ne peut pas être égal à l'opposé du vecteur AC, car ils ont une coordonnée commune. Par conséquent, si les vecteurs ne sont pas collinéaires, les points ABC définissent bien un plan.
Ensuite, nous cherchons à déterminer une équation cartésienne du plan ABC. Pour cela, nous recherchons d'abord un vecteur normal au plan en utilisant les produits scalaires des vecteurs n et A, B, A, C. Cela nous donne deux équations pour trois inconnues. Cependant, il n'y a pas qu'un seul vecteur normal, mais une infinité dans la même direction. Trouver deux équations sur A, B et C est suffisant pour obtenir une famille de vecteurs normaux potentiels, parmi lesquels nous pouvons choisir.
En résolvant les équations, nous trouvons que B est égal à 0. Cela signifie que A est égal à C. Nous déduisons donc que le vecteur n peut être représenté par 1, 0, 1, ce qui correspond à la direction orthogonale au plan. En utilisant la technique précédente, nous obtenons finalement l'équation cartésienne du plan ABC : 1x + 0y + 1z = 0.
En résumé, pour définir un plan dans l'espace à partir de trois points ABC, nous vérifions que les vecteurs ne sont pas collinéaires. Ensuite, nous cherchons un vecteur normal au plan en utilisant les produits scalaires des vecteurs et les conditions de perpendicularité. Enfin, nous obtenons l'équation cartésienne du plan en utilisant le vecteur normal. Il est important de connaître différentes méthodes pour résoudre ces exercices de géométrie et de s'assurer de reconnaître les bonnes pistes pour trouver les réponses correctes.
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Géométrie Terminale
ECG
Trouver un plan avec 3 points
Dans ce cours, nous apprenons une méthode pour trouver une équation cartésienne d'un plan passant par un certain point avec un certain vecteur normal.
Il existe deux méthodes pour cela. La première consiste à utiliser l'équation générale du plan, qui est de la forme ax + by + cz + d = 0, en utilisant les coordonnées x, y, z du vecteur normal. Cette méthode est basée sur un résultat connu et n'est pas une démonstration complète.
La deuxième méthode, qui est préférable, consiste à utiliser le fait qu'un point quelconque du plan est orthogonal au vecteur normal. Ainsi, pour qu'un point M appartienne au plan, le vecteur GM (vecteur reliant le point M au point donné G) doit être orthogonal au vecteur normal N. Cela signifie que si les coordonnées du point M sont x, y, z, alors les coordonnées du vecteur GM doivent satisfaire l'équation x-1 * 0 + y-1 * 3 + z-1 * 5 = 0.
En utilisant le produit scalaire pour déterminer l'orthogonalité des vecteurs, on obtient cette équation de manière directe. Cependant, il est important de comprendre que c'est la définition même d'un vecteur normal, c'est-à-dire un vecteur orthogonal à tous les vecteurs du plan.
