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Corrigés de BAC
Bac Maths
Terminale
Fonctions - Asie 2022
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Corrigés de BAC
Bac Maths
Terminale
Probabilités - Asie 2022
Dans cet exercice de Bac sur les probabilités, on aborde les probabilités conditionnelles, l'indépendance et les variables aléatoires. La première partie porte sur les év
Corrigés de BAC
Bac Maths
Terminale
Suites - Asie 2022
Dans cet exercice, nous nous intéressons au développement d'une bactérie et nous utilisons certaines hypothèses pour modéliser ce développement. La probabilité que la bactérie meure sans descendance est de 0,3, tandis que la probabilité qu'elle se divise en deux bactéries est de 0,7. Nous définissons Pn comme la probabilité d'obtenir au moins n descendants pour une bactérie. La relation de récurrence est donnée par Pn+1 = 0,3 + 0,7Pn².
Nous devons calculer les valeurs exactes de P1 et P2. Nous utilisons simplement la formule pour calculer P1 = 0,363 et P2 = 0,3922383. En interprétant ces valeurs, nous concluons que la bactérie a plus de chances d'avoir au moins 1 ou 2 descendants que de ne pas se reproduire.
Ensuite, nous devons trouver la probabilité d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type. Nous utilisons la formule 1 - P10 pour obtenir une probabilité d'environ 0,571.
En analysant le tableau des valeurs, nous formulons des conjectures sur les variations et la convergence de la suite Pn. Il semble que la suite soit croissante et converge vers une limite d'environ 0,428.
Nous prouvons ensuite par récurrence que pour tout entier naturel n, Pn est plus petit que Pn+1 et les deux valeurs sont comprises entre 0 et 0,5.
Pour justifier que la suite est convergente, nous utilisons l'inégalité donnée dans l'énoncé qui montre que Pn est plus petit que Pn+1.
Nous déterminons ensuite la limite de la suite en résolvant une équation du second degré. Nous trouvons que la limite est 3/7, soit environ 0,430.
Enfin, nous complétons une fonction en langage Python qui renvoie les n premiers termes de la suite. Nous utilisons une boucle for pour remplir un tableau avec les valeurs calculées et nous renvoyons ce tableau à la fin.
C'est ainsi que se termine cet exercice d'algorithmique et de programmation sur les suites en utilisant des probabilités.
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Bac Maths
MPSI/PCSI
Fonctions - Asie 2022
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Bac Maths
MPSI/PCSI
Probabilités - Asie 2022
Cet exercice porte sur les probabilités, les probabilités conditionnelles, les indépendances et les variables aléatoires. La première partie concerne les événements et les prob
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Bac Maths
MPSI/PCSI
Suites - Asie 2022
Dans cet exercice de BAC sur les suites avec de l'algorithmique et de la programmation, on étudie le développement d'une bactérie en utilisant des probabilités. On modélise le développement de la bactérie avec certaines hypothèses : elle a une probabilité de 0,3 de mourir sans descendance et une probabilité de 0,7 de se diviser en deux bactéries. On utilise la relation de récurrence P_n+1 = 0,3 + 0,7 * P_n^2 pour calculer les valeurs de P_1 et P_2. On obtient P_1 = 0,363 et P_2 = 0,3922383. Ces valeurs indiquent que la bactérie a plus de chances d'avoir au moins 1 ou 2 descendants que 0.
Ensuite, on nous demande de déterminer la probabilité, arrondie à 10^-3, d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type. On utilise la relation P_n <= 0,5 pour montrer que P_10 est l'inégalité exacte. Donc, la probabilité d'obtenir au moins 11 générations est égale à 1 - P_10, soit environ 0,571.
On formule ensuite des conjectures sur les variations et la convergence de la suite P_n. En observant le tableau, on voit que les termes de la suite semblent converger vers 0,428, en étant croissants. On conclut que la suite est croissante et convergente.
Par récurrence sur n, on démontre que pour tout entier naturel n, P_n < P_n+1 et les deux sont compris entre 0 et 0,5.
On justifie ensuite que la suite est convergente en montrant que P_n < P_n+1, ce qui prouve que la suite est croissante, et que tous les termes de la suite sont inférieurs à 0,5.
On détermine alors la limite de la suite en résolvant l'équation 0,3 + 0,7 * l^2 = l, où l est la limite de la suite. On trouve l = 3/7, soit environ 0,430.
Enfin, on écrit une fonction en Python qui renvoie les n premiers termes de la suite. On initialise le tableau avec la valeur de P_0, puis on utilise une boucle pour calculer les termes suivants en utilisant la relation de récurrence. On ajoute chaque terme calculé au tableau avec la fonction append, et on renvoie le tableau complet.
Cet exercice permet de mettre en pratique les concepts de suites, probabilités et programmation, en étudiant le développement d'une bactérie avec des hypothèses et des calculs de probabilités. On calcule les valeurs de la suite, interprétons les résultats dans le contexte, démontrons des propriétés sur la
