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Probabilités

Variables aléatoires

Dans ce cours sur les probabilités, on utilise un arbre pondéré pour calculer les probabilités d'événements. On prend l'exemple de Naomi se rendant au lycée en vélo ou en bus, en fonction du temps qu'il fait. On sait que si le temps est ensoleillé, elle prend le vélo 8 fois sur 10, et si le temps est moche, elle prend le vélo 5 fois sur 10. On sait également que dans sa ville, 75% des journées sont insolubles. On cherche à déterminer la probabilité qu'elle prenne le vélo sachant qu'il fait beau, ainsi que la probabilité qu'elle prenne le vélo en général. Pour cela, on utilise la formule des probabilités totales et on trouve que la probabilité qu'elle prenne le vélo est de 72,5%.

Alors ici on va faire des petits calculs de probabilités d'événements de façon très classique pour commencer sur les probas en utilisant un arbre pondéré. On aura certaines infos sur les probabilités, on va essayer d'en déduire d'autres. Là ce qu'on nous dit c'est que Naomi pour se rendre au lycée sera en vélo ou en bus et ce qu'on sait c'est que quand il fait beau elle prend le vélo 8 fois sur 10 quand il fait moche, elle prend le vélo 5 fois sur 10 et en plus dans la ville où elle habite il y a 75% des journées qui sont insolubles donc on va prendre une journée au hasard, on ne sait pas s'il fait beau ou pas et on veut déterminer P2E inter V et P2V donc là ce qu'il faut c'est essayer de traduire tout ça d'abord première étape par un arbre pondéré on va pouvoir écrire un peu les probabilités deux, on va déterminer ces probabilités sur chaque nœud et sur celles manquantes et grâce à ça on va pouvoir en déduire l'événement chargé sur les branches et on va pouvoir en déduire la probabilité associée on va faire étape par étape, je construis mon arbre pondéré soit c'est ensoleillé, soit c'est pas ensoleillé soit pas vélo, c'est assez simple maintenant ce qu'il faut c'est écrire les probabilités associées donc la probabilité que ce soit ensoleillé, on nous la donne c'est 0.75, donc forcément la probabilité qu'il ne fasse pas beau pas ensoleillé c'est 0.25, donc jusque là ça va ensuite, ce qu'on dit c'est que sachant que c'est ensoleillé j'ai 0.8 80% de chance que Naomi prenne le vélo donc grâce à ça, je considère l'événement contraire et que elle ne prend pas le vélo, forcément c'est 20% de chance idem, on dit qu'elle prend le vélo s'il fait pas beau avec 50% de chance, c'est à dire que 50% de chance elle prend le bus aussi, donc là j'ai tous mes probas maintenant et je peux compléter mon arbre, donc là je suis à 0.75, 0.25 0.8, 0.2, 0.5, 0.5 je vérifie toujours de chaque branche, la somme fasse toujours 1 ça doit faire toujours 1 et là ce qu'on cherche maintenant c'est P de E inter V alors, il faut bien faire la différence parce que parfois les élèves ont un peu du mal, P de E inter V et P de V sachant E c'est pas du tout la même chose, P de E inter V c'est à dire que c'est la probabilité qu'à la fois il fasse beau et à la fois je prenne le vélo, alors que P de V sachant E c'est à dire que sachant qu'il fait beau, c'est ensoleillé c'est quoi la probabilité que je prenne le vélo? forcément, cette probabilité là sera toujours supérieure à celle là pourquoi? parce que là, dans tous les cas, je sais qu'il fait ensoleillé alors que là, il faut qu'à la fois il fasse ensoleillé et à la fois je prenne le vélo donc forcément c'est pas la même chose donc là j'applique bêtement la formule, P de E inter V ça fait P de E x P de V sachant E pour pas que vous trompiez, moi je trouve qu'il y a un moyen un moyen mnémotechnique quand même assez simple c'est que les deux E sont côte à côte, ils se regardent donc parfois les élèves intervertissent ces deux lettres là en fait le E est là et il est là, ils sont côte à côte donc ça fait 0.75, 0.8 ça fait 0.6 donc il y a 60% de chance que à la fois il fasse beau et à la fois elle prenne le vélo et maintenant on cherche la probabilité qu'elle fasse du vélo donc là ce qu'il faut faire c'est la formule des probabilités totales on voit en fait sur l'arbre, on cherche les chemins où elle fait du vélo donc il y a celui-ci et il y a celui-là et donc j'ai utilisé la formule des probabilités totales qui est en fait que P de V ça fait P de E x P de V sachant E pareil les deux E se regardent là et x P de E bar x P de V sachant E bar pareil les deux E bar sont côte à côte donc là j'applique la formule ce qui correspond en fait à mon arbre probabilité je le voyais directement 0.75 x 0.8 plus 0.25 x 0.5 en fait je le voyais sur mon arbre 0.75 x 0.8 plus 0.25 x 0.5 et donc quand je fais la somme je trouve que ça fait 72% et demi de chance qu'elle prenne le vélo donc voilà pour cette méthode sur les calculs de probabilités avec un arbre pondé

Ce cours présente une expérience de vente de livres en librairie où 67% des clients achètent un livre. Grâce à cette expérience répétée 4 fois et avec des clients indépendants, on peut appliquer le schéma de BR8. En utilisant un arbre pour représenter les différentes issues possibles, on peut calculer la probabilité d'avoir exactement 2 acheteurs de livres. Cette méthode est un peu laborieuse, mais peut être simplifiée en utilisant la formule de la loi binomiale.

on va regarder maintenant notre premier schéma de BR8, comment ça se matérialise. Donc Gloria a marqué que quand un client rentre dans sa librairie il y a une probabilité de 67% de chance qu'il achète un livre, sachant que tous les clients sont indépendants et là le mot clé est là en fait c'est l'indépendance il y a quatre clients qui rentrent dans la boutique et voilà on regarde est-ce qu'ils achètent un livre ou non. Maintenant première question, il faut qu'on justifie que là on a un schéma de BR8. Pourquoi on a un schéma de BR8? Parce qu'on a une répétition d'une même expérience c'est le client achète ou non le livre avec deux issues seulement, achat ou pas achat et même expérience identique, indépendante chaque client est indépendant et son choix ne dépend pas de celui précédent donc c'est un schéma de BR8 avec n égale 4 et p égal 0,67 j'ai une probabilité de succès donc à nous de déterminer ce qu'est le succès j'aurais pu dire que le succès c'est qu'il n'achète pas de livre, c'est un peu contre-intuitif mais bon peu importe donc là je le dis le succès c'est qu'il achète un livre p égal 0,67 et quatre fois je répète l'expérience c'est donc bien un schéma de BR8. Ensuite il faut faire un arbre bon personnellement je n'aurais pas fait d'arbre là dessus parce que c'est très long mais l'énoncé me le demande donc je le fais sachant qu'en plus on a la même expérience plusieurs fois donc à chaque fois c'est alors j'ai représenté par S le fait que succès, échec donc succès échec, succès, échec donc à chaque fois j'ai 67% de chance de succès et 33% de chance d'échec et ce à chaque nœud voilà voilà quatre fois donc c'est pour ça que ça me fait beaucoup beaucoup de cas possibles mais bon je les ai tous représentés et ensuite on s'intéresse aux cas où on a deux succès exactement donc deux achats. Là on va faire une méthode qui est un peu disons à la mano quoi après on va remarquer que ça c'est une loi binomiale et ce sera dans la prochaine méthode ce sera quand même beaucoup plus pratique mais là grâce à mon arbre je peux repérer tous les chemins où il y a deux succès donc là il y en a un premier ici là deux succès deux échecs, deux que j'ai entouré en fait en jaune, deuxième chemin celui ci voilà deux succès deux échecs idem avec celui ci etc etc bon bref j'ai tout préparé on les compte on a 1 2 3 4 5 6 donc en fait j'ai six fois six possibilités que j'ajoute donc ça fait six fois et la probabilité que chacune se produise est la même puisque en fait j'ai deux fois 0,67 à multiplier et deux fois 0,33 pas forcément dans le même ordre mais de toute façon il n'y a pas d'ordre pour une multiplication donc ça fait 0,67 au carré fois 0,33 au carré fois 6 parce qu'il y a six fois la possibilité et donc je me retrouve avec 29% de chance que j'ai deux personnes qui achètent des livres ça on verra que on pourra le généraliser de façon beaucoup plus systématique avec la formule de la loi binomiale mais au moins avec l'arbre on peut trouver aussi le résultat voilà pour la méthode pour trouver des probabilités directement en lisant sur un arbre

Utiliser un arbre pondéré

Représenter un schéma de Bernoulli