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Probabilités

Indépendance et Bernoulli

Dans ce cours sur les probabilités, on utilise un arbre pondéré pour calculer les probabilités d'événements. On prend l'exemple de Naomi se rendant au lycée en vélo ou en bus, en fonction du temps qu'il fait. On sait que si le temps est ensoleillé, elle prend le vélo 8 fois sur 10, et si le temps est moche, elle prend le vélo 5 fois sur 10. On sait également que dans sa ville, 75% des journées sont insolubles. On cherche à déterminer la probabilité qu'elle prenne le vélo sachant qu'il fait beau, ainsi que la probabilité qu'elle prenne le vélo en général. Pour cela, on utilise la formule des probabilités totales et on trouve que la probabilité qu'elle prenne le vélo est de 72,5%.

Alors ici on va faire des petits calculs de probabilités d'événements de façon très classique pour commencer sur les probas en utilisant un arbre pondéré. On aura certaines infos sur les probabilités, on va essayer d'en déduire d'autres. Là ce qu'on nous dit c'est que Naomi pour se rendre au lycée sera en vélo ou en bus et ce qu'on sait c'est que quand il fait beau elle prend le vélo 8 fois sur 10 quand il fait moche, elle prend le vélo 5 fois sur 10 et en plus dans la ville où elle habite il y a 75% des journées qui sont insolubles donc on va prendre une journée au hasard, on ne sait pas s'il fait beau ou pas et on veut déterminer P2E inter V et P2V donc là ce qu'il faut c'est essayer de traduire tout ça d'abord première étape par un arbre pondéré on va pouvoir écrire un peu les probabilités deux, on va déterminer ces probabilités sur chaque nœud et sur celles manquantes et grâce à ça on va pouvoir en déduire l'événement chargé sur les branches et on va pouvoir en déduire la probabilité associée on va faire étape par étape, je construis mon arbre pondéré soit c'est ensoleillé, soit c'est pas ensoleillé soit pas vélo, c'est assez simple maintenant ce qu'il faut c'est écrire les probabilités associées donc la probabilité que ce soit ensoleillé, on nous la donne c'est 0.75, donc forcément la probabilité qu'il ne fasse pas beau pas ensoleillé c'est 0.25, donc jusque là ça va ensuite, ce qu'on dit c'est que sachant que c'est ensoleillé j'ai 0.8 80% de chance que Naomi prenne le vélo donc grâce à ça, je considère l'événement contraire et que elle ne prend pas le vélo, forcément c'est 20% de chance idem, on dit qu'elle prend le vélo s'il fait pas beau avec 50% de chance, c'est à dire que 50% de chance elle prend le bus aussi, donc là j'ai tous mes probas maintenant et je peux compléter mon arbre, donc là je suis à 0.75, 0.25 0.8, 0.2, 0.5, 0.5 je vérifie toujours de chaque branche, la somme fasse toujours 1 ça doit faire toujours 1 et là ce qu'on cherche maintenant c'est P de E inter V alors, il faut bien faire la différence parce que parfois les élèves ont un peu du mal, P de E inter V et P de V sachant E c'est pas du tout la même chose, P de E inter V c'est à dire que c'est la probabilité qu'à la fois il fasse beau et à la fois je prenne le vélo, alors que P de V sachant E c'est à dire que sachant qu'il fait beau, c'est ensoleillé c'est quoi la probabilité que je prenne le vélo? forcément, cette probabilité là sera toujours supérieure à celle là pourquoi? parce que là, dans tous les cas, je sais qu'il fait ensoleillé alors que là, il faut qu'à la fois il fasse ensoleillé et à la fois je prenne le vélo donc forcément c'est pas la même chose donc là j'applique bêtement la formule, P de E inter V ça fait P de E x P de V sachant E pour pas que vous trompiez, moi je trouve qu'il y a un moyen un moyen mnémotechnique quand même assez simple c'est que les deux E sont côte à côte, ils se regardent donc parfois les élèves intervertissent ces deux lettres là en fait le E est là et il est là, ils sont côte à côte donc ça fait 0.75, 0.8 ça fait 0.6 donc il y a 60% de chance que à la fois il fasse beau et à la fois elle prenne le vélo et maintenant on cherche la probabilité qu'elle fasse du vélo donc là ce qu'il faut faire c'est la formule des probabilités totales on voit en fait sur l'arbre, on cherche les chemins où elle fait du vélo donc il y a celui-ci et il y a celui-là et donc j'ai utilisé la formule des probabilités totales qui est en fait que P de V ça fait P de E x P de V sachant E pareil les deux E se regardent là et x P de E bar x P de V sachant E bar pareil les deux E bar sont côte à côte donc là j'applique la formule ce qui correspond en fait à mon arbre probabilité je le voyais directement 0.75 x 0.8 plus 0.25 x 0.5 en fait je le voyais sur mon arbre 0.75 x 0.8 plus 0.25 x 0.5 et donc quand je fais la somme je trouve que ça fait 72% et demi de chance qu'elle prenne le vélo donc voilà pour cette méthode sur les calculs de probabilités avec un arbre pondé

Utiliser un arbre pondéré

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