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Probabilités

Variables aléatoires

Ce sous-chapitre traite des intervalles de fluctuation en relation avec les variables aléatoires et la loi binomiale. Il est essentiel de modéliser des événements et des probabilités dans la vie réelle, et cette modélisation peut être vérifiée avec des intervalles de fluctuation. Grâce à ces tests, on peut déterminer si une modélisation est effectivement précise ou non. À titre d'exemple, en supposant que x est le nombre de spectateurs, s'il y a moins de 10 personnes, une pièce de théâtre ne sera pas jouée. En utilisant la méthode des intervalles de fluctuation et des informations pertinentes sur les paramètres de la loi de probabilité et le seuil, on peut déterminer si la troupe est susceptible de jouer avec un intervalle de confiance de plus de 95%. En fin de compte, les intervalles de fluctuation peuvent être utilisés pour évaluer les modèles probabilistes dans la vie réelle.

Dernier sous-chapitre sur les variables aléatoires et la loi binomiale, ce sont les intervalles de fluctuation. A quoi ça me sert? Evidemment, dans la vraie vie, on modélise des probabilités, on modélise des événements de la vie, des choses, avec des probabilités et des lois. Evidemment, est-ce que c'est exactement ça ou pas? C'est ce qu'on appelle une modélisation. Est-ce qu'une modélisation correspond à la réalité? Plus ou moins. Grâce à ces tests-là, aux intervalles de fluctuation, on peut savoir si la modélisation est bonne avec un certain seuil. Évidemment, parce qu'on n'est jamais sûr en proba. L'idée, c'est qu'on a une troupe de théâtre qui joue et elle ne sait pas combien elle va avoir de spectateurs. On suppose que x est le nombre de spectateurs, ça suit une loi binomiale de paramètres n égale 100 et p égal 0.15. Je sais que le nombre de spectateurs sera entre 100 et 0. Ça peut être plus, ça peut pas être moins. S'il y a moins de 10 personnes, on ne joue pas. Est-ce que grâce à cette modélisation-là, du nombre de spectateurs, la troupe est-elle sûre de pouvoir jouer avec un intervalle de confiance de plus de 95%? Est-ce qu'elle a plus de 95% de chance de jouer? C'est ça la question. Pour les intervalles de fluctuation, la méthode c'est quoi? C'est de repérer l'intervalle demandé, le seuil et les paramètres de la loi de probabilité. Là, l'intervalle était plus grand que 10. C'est écrit ici. Il faut qu'on ait plus de 10 personnes. Les paramètres de notre loi binomiale, on les a là. C'est n égale 100 et p égal 0.15. Et le seuil, c'est 95%. On a toutes les infos, et donc parfait. On va calculer la probabilité que x soit supérieur ou égal à 10. Grâce à notre super ami la calculette, ça fait 1-p de x inférieur ou égal à 9. Ça nous fait 94,5% de chance. C'est juste en dessous de 95. Non, la troupe n'est pas sûre de pouvoir jouer au seuil de 95%. On est juste en dessous. Voilà comment on peut utiliser les intervalles de confiance et les intervalles de fluctuation.

Nous cherchons à déterminer un intervalle de fluctuation centré pour une variable aléatoire X, avec n = 40, p = 0,2 et α = 0,05. Pour cela, nous calculons α/2, soit 0,025. Nous cherchons ensuite deux bornes k et i, telles que P(X<k) > 0,025 et P(X<i) > 0,025. Nous sommes ainsi en mesure de déterminer que k = 3 et i = 13. L'intervalle de fluctuation centré associé à X au seuil 0,095 est donc de 3 à 13, ce qui signifie que nous avons 95% de chances que X se situe dans cette plage.

Cette fois, ça va être à nous de déterminer l'intervalle de fluctuation. Là, on considère une variable aléatoire x, dont on connaît la loi binomiale, n égale 40, et p égale 0,2. On pose α égale 0,05 et on veut déterminer un intervalle de fluctuation centré au seuil 1-α pour cette variable aléatoire X. Ça fait beaucoup d'informations, mais c'est assez simple. Vu qu'on veut un intervalle centré, on va calculer α sur 2. Ici, ça vaut 0,025. Ensuite, on va chercher deux choses. Le plus petit entier k, tel que p de x inférieur à k, soit plus grand que α sur 2, donc 0,025. On cherche aussi le plus petit entier i, tel que p de x inférieur à i soit plus grand que 1-α sur 2, donc 0,095. Sur un schéma, ça se matérialise très bien. On va chercher cette zone sur laquelle on a 95% de chance de se situer. Il faut que sur les zones à l'extérieur, on ait α sur 2 et α sur 2. On aura 2,5% de chance d'être dans cette zone-là et 2,5% aussi. Ce qu'on cherche, c'est les bornes de cet intervalle k et i. Là, c'est par tâtonnement, il faut regarder un peu la calculatrice. Par tâtonnement, je trouve que la probabilité que x soit inférieur à 2, en faisant le calcul à la calculette, pour x inférieur à 2, on trouve 0,008. Pour x inférieur à 3, on trouve 0,0285. Donc le premier qui fonctionne, c'est bien 3. A 2, je suis en dessous. Et là, je suis juste à la limite. Maintenant, pour le seuil à 0,0975, pour x inférieur à 12, on trouve 0,0957. Pour x inférieur à 13, on trouve 0,0981. Donc le i qu'on cherche, c'est 13. Finalement, notre intervalle de fluctuation centré associé à x au seuil 0,095, c'est 3,13. Autrement dit, en français, c'est-à-dire que j'ai 95% de chance que ma variable aléatoire x soit comprise entre 3 et 13.

L'exercice consiste à calculer l'intervalle de fluctuation centré au seuil de 95% pour un médicament qui est efficace à 90% en prenant 400 patients malades. La loi G suit une loi binomiale de paramètres n égale 400 et p égale 0,9. On utilise la méthode de tâtonnement pour trouver la plus petite valeur de G telle que p de G inférieure à K, soit plus petite que 0,025 et la plus petite valeur de K telle que p de G inférieure à K soit inférieure à 0,975. On trouve que 95% de chance que le nombre de patients guéris soit situé entre 87% et 92,5%. L'hypothèse est donc validée et la borne inférieure de l'intervalle est de 87%. C'est un exercice typique de calcul d'intervalle de fluctuation pour l'efficacité d'un médicament.

On va finir par un dernier petit classique, l'efficacité d'un médicament. Alors ça on y a droit au moins une fois par an on va dire. Si vous n'avez pas vu un exercice sur l'efficacité d'un médicament en proba, c'est que vous n'avez pas fait le chapitre des probas. Donc on a un médicament qui est efficace à 90%. C'est à dire que quand le patient a ce médicament, il a 90% de chance de guérir. Donc on va prendre 400 patients ayant reçu le médicament, patients malades, on va voir s'ils sont guéris ou pas. Donc la loi G, elle suit une loi binomiale de paramètres n égale 400 et p égale 0,9. Pourquoi? Il faut justifier. Parce qu'on a une répétition de 400 expériences identiques, indépendantes, avec deux issues possibles, guéries ou pas guéries. Donc j'ai bien un schéma de Bernoulli et G compte le nombre de succès. Ensuite on veut un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95% associé à G sur 400. Pourquoi G sur 400 et pas G? Parce que comme ça, ça nous donne la fréquence, le pourcentage de patients guéris. Ça nous ramène à quelque chose d'unitaire. Donc voilà, c'est la calculatrice qui va nous aider. Donc on part de G. Là c'est pareil, par tâtonnement, on utilise la méthode précédente, ce qu'on a vu auparavant. Et là on cherche un intervalle de fluctuation centré de type 1-α avec α égale 0,05. Donc moi, α sur 2, il vaut 0,025. Donc je cherche la plus petite valeur de G, pardon, la plus petite valeur K, telle que p de G inférieure à K, soit plus petite que 0,025. Là je vois que 347, ça fait 0,022. Pour 348, ça fait 0,031. J'ai trouvé mon candidat, c'est 348. Ensuite, pareil, je cherche la plus petite valeur de K, telle que p de G inférieure à K, soit inférieure à 0,975. Et là, idem, entre 370 et 371, on trouve 96,4 et 97,6. Donc notre borne supérieure de l'intervalle, ça va être 371. Donc finalement, j'ai 95% de chance que le nombre de personnes guéries soit situé entre 348 et 371. Sauf que ça, ça ne nous parle pas. Alors 400 personnes, nous on aime bien se ramener en pourcentage, nous on aime bien se ramener en base unitaire. On va tout diviser par 400, et finalement ça veut dire que j'ai 95% de chance que, si on fasse les calculs, si on divise tout par 400, ça nous fait 0,87 et 0,925. Donc j'ai 95% de chance que le nombre de patients guéris soit situé entre 87% et 92,5%. Donc j'aurais, dans la très grande majorité des cas, disons à peu près quelque chose de pas loin de 90% de patients guéris. Donc, après on nous pose la question, est-ce que 87,5% est bien situé dans l'intervalle de confiance? Est-ce que ça remet en cause l'hypothèse au seuil de 95%? Non, on n'est pas très loin de la borne, mais on est quand même dans l'intervalle. On est à 87,5 et la borne inf de l'intervalle c'est 87. Donc c'est bon, on est bien entre 0,87 et 0,925. Donc ça c'est vraiment l'exercice typique de calcul d'intervalle de fluctuation pour l'efficacité d'un médicament. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à aller voir dans l'FAQ.

Seuil de probabilité

Déterminer un intervalle de fluctuation

Classique : efficacité d'un médicament ?

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