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Intervalles de Fluctuation

Nous cherchons à déterminer un intervalle de fluctuation centré pour une variable aléatoire X, avec n = 40, p = 0,2 et α = 0,05. Pour cela, nous calculons α/2, soit 0,025. Nous cherchons ensuite deux bornes k et i, telles que P(X<k) > 0,025 et P(X<i) > 0,025. Nous sommes ainsi en mesure de déterminer que k = 3 et i = 13. L'intervalle de fluctuation centré associé à X au seuil 0,095 est donc de 3 à 13, ce qui signifie que nous avons 95% de chances que X se situe dans cette plage.

Cette fois, ça va être à nous de déterminer l'intervalle de fluctuation. Là, on considère une variable aléatoire x, dont on connaît la loi binomiale, n égale 40, et p égale 0,2. On pose α égale 0,05 et on veut déterminer un intervalle de fluctuation centré au seuil 1-α pour cette variable aléatoire X. Ça fait beaucoup d'informations, mais c'est assez simple. Vu qu'on veut un intervalle centré, on va calculer α sur 2. Ici, ça vaut 0,025. Ensuite, on va chercher deux choses. Le plus petit entier k, tel que p de x inférieur à k, soit plus grand que α sur 2, donc 0,025. On cherche aussi le plus petit entier i, tel que p de x inférieur à i soit plus grand que 1-α sur 2, donc 0,095. Sur un schéma, ça se matérialise très bien. On va chercher cette zone sur laquelle on a 95% de chance de se situer. Il faut que sur les zones à l'extérieur, on ait α sur 2 et α sur 2. On aura 2,5% de chance d'être dans cette zone-là et 2,5% aussi. Ce qu'on cherche, c'est les bornes de cet intervalle k et i. Là, c'est par tâtonnement, il faut regarder un peu la calculatrice. Par tâtonnement, je trouve que la probabilité que x soit inférieur à 2, en faisant le calcul à la calculette, pour x inférieur à 2, on trouve 0,008. Pour x inférieur à 3, on trouve 0,0285. Donc le premier qui fonctionne, c'est bien 3. A 2, je suis en dessous. Et là, je suis juste à la limite. Maintenant, pour le seuil à 0,0975, pour x inférieur à 12, on trouve 0,0957. Pour x inférieur à 13, on trouve 0,0981. Donc le i qu'on cherche, c'est 13. Finalement, notre intervalle de fluctuation centré associé à x au seuil 0,095, c'est 3,13. Autrement dit, en français, c'est-à-dire que j'ai 95% de chance que ma variable aléatoire x soit comprise entre 3 et 13.

Déterminer un intervalle de fluctuation

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