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Trouver un polynome dont √7-√3 soit racine !
Dans cet exercice, l'objectif est de trouver un polynôme avec des coefficients entiers qui a pour racine la quantité "racine de 7 moins racine de 3". On cherche donc un polynôme de degré n, de la forme "p2x = a0 + a1x + a2x² + ... + anx^n", où les coefficients a0, a1, a2, ..., an sont des entiers.
On souhaite donc trouver un degré de polynôme pas trop élevé, car si la réponse est un polynôme de degré 850, cela ne sera pas possible. On espère donc trouver un polynôme de degré 2 qui combine les carrés et les puissances non-carrées de la quantité "racine de 7 moins racine de 3" de manière à ce que le tout soit égal à zéro.
En effectuant quelques calculs, on trouve que (racine de 7 moins racine de 3)² = 7 + 3 - 2√21, ce qui est intéressant car cela nous permet de ne travailler qu'avec des racines de 21.
En calculant (racine de 7 moins racine de 3)⁴, on trouve que cela est égal à 184 - 40√21, ce qui nous montre que nous pouvons combiner le carré et la puissance 4 de cette quantité pour obtenir zéro. Nous décidons donc de chercher un polynôme de degré 4 avec des coefficients a, b, c, tels que a * (racine de 7 moins racine de 3)⁴ + b * (racine de 7 moins racine de 3)² + c = 0.
Après avoir calculé et réorganisé cette équation, nous obtenons a = c/16 et b = -20a. En choisissant c = 16, nous obtenons a = 1 et b = -20.
Ainsi, le polynôme résultant est "p2x = x⁴ - 20x² + 16", qui a pour racine "racine de 7 moins racine de 3". L'objectif de l'exercice est donc atteint en trouvant un polynôme, le plus simple possible, avec des coefficients entiers qui a cette racine spécifique.
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x³-y³=2019 avec des entiers ?
Dans cette vidéo, l'objectif est de résoudre un exercice d'arithmétique qui prépare à l'entrée à Stanford. L'exercice consiste à trouver les valeurs des nombres entiers positifs x et y qui satisfont à l'équation x² - y² = 2019.
Pour résoudre cette équation, il est conseillé de factoriser l'expression x² - y², qui est une identité remarquable connue en mathématiques. On peut simplifier x² - y² en (x - y)(x + y).
Ensuite, l'idée est de chercher les diviseurs positifs de 2019 pour déterminer les valeurs possibles de x - y et x + y. On peut commencer par décomposer 2019 en facteurs premiers, par exemple en le divisant par 3.
Ensuite, on vérifie si le reste de cette division par 3 est divisible par d'autres nombres premiers. On peut procéder en cherchant les diviseurs potentiels de 673 (ou de 2019) en utilisant des nombres inférieurs ou égaux à la racine carrée de 673. On constate que 673 est un nombre premier, donc on a deux choix possibles pour la décomposition de 2019 : 1 * 2019 ou 3 * 673.
Ensuite, on résout un système d'équations en considérant les deux possibilités de décomposition de 2019. On cherche les valeurs de x et y qui satisfont aux équations x - y = 1 et x + y = 2019. On trouve que x = 1010 et y = 1009 pour la première décomposition, et que x = 338 et y = 335 pour la deuxième décomposition.
Pour la seconde partie de l'exercice, il s'agit de trouver les entiers positifs x et y qui satisfont à l'équation x³ - y³ = 2019. Pour résoudre cette équation, il faut connaître une identité remarquable qui factorise x³ - y³.
On utilise la décomposition en facteurs premiers de 2019 pour simplifier l'équation. On montre que l'expression x² + xy + y² est toujours plus grande que x - y. On pose un système d'équations en remplaçant y par x - 1, mais la résolution de ce système est plus compliquée.
On vérifie si le discriminant du système est un carré parfait pour déterminer s'il existe des solutions entières. On trouve que le discriminant n'est pas un carré parfait, ce qui signifie qu'il n'y a pas de solutions entières pour l'équation x³ - y³ = 2019.
On réalise le même processus pour l'autre décomposition de 2019, mais on obtient également la conclusion qu'il n'y a pas de solutions entières.
En conclusion, il n'existe pas d'entiers positifs x et y qui vérifient l'équation x³ - y³ = 2019.
