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Somme d'espaces vectoriels

Dans ce cours sur les espaces vectoriels de dimensions infinies, on nous explique que bien que l'étude complète des dimensions infinies ne soit pas au programme, il est néanmoins important de savoir les gérer lorsqu'ils apparaissent. On nous présente l'exercice de montrer que l'ensemble des suites constantes et l'ensemble des suites convergentes vers 0 sont des sous-espaces supplémentaires dans E, l'ensemble des suites qui convergent. Pour cela, on nous propose une décomposition d'une suite en un élément qui converge vers 0 et un élément constant, et on doit montrer que cette décomposition est unique. En utilisant des raisonnements basiques et en se basant sur des conditions nécessaires et suffisantes, on parvient à trouver cette unique décomposition, prouvant ainsi que les ensembles des suites constantes et des suites convergentes vers 0 sont bien des sous-espaces supplémentaires dans E. On précise également qu'il est important de préciser que cette décomposition est la seule candidate possible, en vérifiant qu'elle satisfait bien les conditions nécessaires et suffisantes. On conclut en soulignant qu'il faut se familiariser avec ce type de raisonnement lorsqu'il n'y a pas de dimension finie, et en encourageant les questions et discussions sur le sujet.

Un exercice un peu intéressant parce qu'il va se passer dans un espace vectoriel de dimensions infinies. Ce n'est pas exactement au programme l'étude complète des dimensions infinies, mais par contre il faut être capable, enfin on peut les rencontrer ces espaces, on va les rencontrer, certains sont très classiques, comme par exemple l'ensemble des suites de R puissance n, on va les rencontrer, par exemple l'ensemble des fonctions continues, on ne va pas les étudier dans le détail en prépa, en sup en tout cas, mais on va devoir savoir les gérer quand ils apparaissent et on va devoir se libérer du réflexe de l'usage de la dimension. C'est intéressant, c'est un petit twist dans le chapitre sur les dimensions, c'est qu'en fait des fois on ne peut plus se servir de cet argument de dimension qui est si si pratique dans tant d'occasions. Montrer que l'ensemble des suites constantes et l'ensemble des suites convergent vers 0 sont des sous-espaces supplémentaires dans E. E, l'ensemble des suites qui convergent, on va essayer de voir ce qu'il se passe. On va montrer que E égale C plus O, donc vous avez compris, j'appelle C l'ensemble des suites constantes et j'appelle O l'ensemble des suites qui convergent vers 0. Vu que j'ai une dimension infinie, je dois revenir à des raisonnements plus basiques, c'est-à-dire un raisonnement par condition nécessaire et suffisante. Je vais prendre une suite qui appartient à E, je vais montrer qu'il existe une unique décomposition de cette suite en un élément qui converge vers 0 et un élément constant. Il faut que je trouve cette décomposition et que je montre qu'il n'y en a pas d'autre. Condition nécessaire. Si on a ça, si E est bien composé de deux espaces supplémentaires, les suites constantes et les suites qui convergent vers 0, ça veut dire que pour toute suite de E, il va exister une unique paire VNWN dans ces croix 0. Une paire telle que, un couple si vous voulez, telle que quelque soit N, j'ai UN égale VN plus WN. Très bien. Essayons maintenant de déterminer ce que peuvent être ces VN et WN et essayons de comprendre un peu s'ils sont uniques. VN est constante, donc en gros je vais prendre un alpha réel et dire si VN est constante, VN quelque soit N est égal à alpha. Très bien. Donc je peux écrire que quelque soit N, UN égale alpha plus WN. Si je passe à la limite, je sais que UN converge, je sais que WN tend vers 0. C'est intéressant parce que si UN converge vers L, je l'appelle L la limite de UN, je me rends compte qu'en fait L égale alpha plus 0. J'ai la limite de UN qui est égale à la limite de alpha plus WN. J'obtiens alpha plus 0 égale L, j'obtiens que mon alpha constant c'est L. J'obtiens donc une caractérisation de l'élément VN. Mon élément VN constant doit être égal à la limite de UN. C'est intéressant parce que j'obtiens donc ça. Quelque soit N, UN doit être égal à L plus WN, ce qui me donne accès potentiellement à WN égale UN moins L. Je peux définir d'un côté VN, c'est L, WN c'est UN moins L. Petite condition suffisante, petite réciproque si vous voulez. On a trouvé ça. Est-ce qu'il est vrai ? J'ai trouvé WN et VN. Si j'écris, j'ai trouvé une manière unique. J'ai trouvé un alpha à VN unique, j'ai trouvé un WN unique. Je n'ai trouvé qu'une seule paire. C'est donc le seul candidat possible, cette paire. C'est ça qu'il faut bien préciser dans le raisonnement. Je ne l'ai pas écrit mais c'est ça l'idée du raisonnement. On a trouvé une seule paire. Convient-elle ? Condition suffisante. On va regarder, WN plus VN qu'on a trouvé, c'est UN moins L plus L. Cet élément, c'est un peu redondant parce qu'on le sait, on va quand même l'écrire. Quelle est la limite de cet élément ? C'est UN moins L, ça tend vers 0, ça appartient bien à O. Quelle est la nature de cet élément ? C'est une constante. C'est bon. Condition nécessaire, on cherche. On trouve une paire unique candidate pour être solution de ma décomposition. Condition suffisante, vérifions bien que cette unique candidat vérifie les deux conditions, celui-ci appartient à O, celui-ci appartient à C. Un raisonnement nécessaire est suffisant. Une condition suffisante est assez rapide, mais il faut la mettre, sinon le raisonnement n'est pas complet. On obtient ça, et on trouve facilement sans utiliser la dimension. J'espère que ça vous a aidé, il y a pas mal d'exos comme ça sur les supplémentaires, où des fois il n'y a pas de dimension finie, il faut se débrouiller, ça sera souvent ça, essayer de trouver, pour chaque élément de E, la décomposition. Posez des questions aussi à besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye !

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