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Sommes et union d’EV
Le cours explique comment démontrer qu'une intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. Pour cela, l'auteur propose de considérer deux sous-espaces vectoriels f et g de l'espace vectoriel E. Il explique que si l'union de f et g est également un sous-espace vectoriel, alors soit f est inclus dans g, soit g est inclus dans f.
L'auteur utilise l'exemple géométrique de deux plans dans l'espace pour illustrer son raisonnement. Il montre que la somme de deux vecteurs, un provenant de chaque plan, ne peut pas appartenir à l'union des deux plans, à moins que l'un des plans ne soit inclus dans l'autre. Il conclut donc que la seule possibilité pour que l'union soit un sous-espace vectoriel est que l'un des plans soit inclus dans l'autre.
Il utilise ensuite des raisonnements basés sur les combinaisons linéaires pour démontrer le résultat. Il considère l'hypothèse que f union g est un sous-espace vectoriel et montre que si X appartient à f et Y appartient à g, alors X+Y doit appartenir à f union g. Il utilise alors les propriétés des sous-espaces vectoriels pour montrer que soit Y appartient à f si X+Y appartient à f, soit X appartient à g si X+Y appartient à g. Il conclut ainsi que si l'union est un sous-espace vectoriel, alors f est inclus dans g ou g est inclus dans f.
Dans la deuxième partie du cours, l'auteur aborde un exercice similaire avec un troisième sous-espace vectoriel H. Il montre comment utiliser les conditions nécessaires pour démontrer que l'intersection de deux sous-espaces vectoriels f et g plus H est égale à g plus l'intersection de f et H, sous l'hypothèse que g est inclus dans f. Il utilise des arguments basés sur les combinaisons linéaires pour montrer que si un élément X appartient à f et à g plus H, alors il appartient également à g plus l'intersection de f et H. Il conclut ainsi que si g est inclus dans f, alors l'intersection de f et g plus H est égale à g plus l'intersection de f et H.
En résumé, le cours démontre comment utiliser les conditions nécessaires et suffisantes pour prouver que l'union de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, et comment démontrer l'égalité entre l'intersection de deux sous-espaces vectoriels plus un troisième et la somme de ce troisième avec l'intersection de ces deux sous-espaces. L'auteur souligne l'importance de suivre un raisonnement précis et de travailler avec minutie pour résoudre ce genre d'exercices.
