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Algèbre

Somme d'espaces vectoriels

Ce cours porte sur les espaces vectoriels et les polynômes. L'objectif est de montrer que l'ensemble F des polynômes P tels que A divise P est un sous-espace vectoriel de R²x. Cette propriété est démontrée en utilisant les propriétés de la divisibilité des polynômes. Ensuite, l'exercice consiste à trouver un supplémentaire F pour cet ensemble. Pour cela, on utilise la division euclidienne des polynômes. On pose un polynôme A de degré N et on montre que tout élément de R²x peut être décomposé de manière unique en la somme d'un polynôme de F et d'un polynôme de degré inférieur à celui de A. Cette décomposition est possible grâce à l'unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne. On conclut ainsi que F est bien un supplémentaire de F.

Un exercice intéressant sur les espaces vectériels où on utilise des polynômes donc c'est assez classique dans des exos d'avoir l'ensemble des polynômes. On vous dit soit A appartient à l'ensemble des polynômes de R, un polynôme non nul donc, et F l'ensemble des polynômes P tel que A divise P. Bon, montrer que F est un sous-espace vectériel de R²x, ça je vous le fais en deux-deux, je n'ai pas d'astuce particulière ou des fois on peut trouver une manière de dire que ce truc là est en fait, je ne sais pas, le noyau d'une application. Là j'y vais franchement, je vous dis F est inclus dans le grand R²x par définition, A le polynôme divise 0 parce que tout polynôme divise 0 donc 0 le polynôme nul est donc inclus dans le grand F. Puis si je prends une petite combinaison linéaire de polynômes de grand F comme A divise P1 et A divise P2, élément de grand F, je sais par propriété de la divisibilité, je sais que A divise aussi lambda P1 plus mu P2. Donc il y a conservation par combinaison linéaire, c'est bon, c'est bien sous-espace vectériel grâce à ces trois propriétés. Ensuite trouver un supplémentaire F, en fait le premier truc à faire, le réflexe à avoir dans beaucoup d'exercices de polynômes qui portent sur le grand R²x, c'est de dire en fait on va poser un A, ce A il a un degré, donc je l'appelle N, je dis que le degré de A c'est N et je me pose un parti dans R²x, dimension infinie ok mais c'est important de le faire. Maintenant je vais regarder, je vais chercher en gros, vu qu'on est en dimension infinie là, on est dans le grand R²x, dimension infinie, comme on a déjà vu précédemment il faut faire attention les arguments de dimension ne peuvent pas fonctionner donc j'ai plutôt essayé de fonctionner par conditions nécessaires et suffisantes et trouver la décomposition unique d'un élément quelconque de R²x sur mes deux supplémentaires. Comment je fais ? On parle de polynômes, on parle de division, il faut que je pense à la division euclidienne et je sais en fait pour un polynôme quelconque de R, S, que je peux faire la division euclidienne de S par A. Pour ça il va exister un Q appartient à R²x et un polynôme R appartient à R N-1 de X, donc un degré en dessous du degré de A tel que S égale AQ plus R. Je vais dézoomer un petit peu, donc AQ, ça je remarque que ça appartient à F, vu que grand F, c'est les polynômes tels que A les divise, AQ, A divise AQ par définition. Donc j'ai S égale AQ plus R, un polynôme unique de R N-1. Donc ça j'ai montré que pour tout élément de R²x, j'ai E égale F plus R N-1 de X. Ils sont en somme. Est-ce que c'est une somme directe pour avoir des supplémentaires ? En fait oui, c'est par unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne. On utilise les propriétés de la division euclidienne des polynômes, on sait qu'il y a unicité du quotient et du reste, cette unicité me confirme bien que j'ai des supplémentaires. J'ai été un peu lourd, on aurait pu dire directement il existe un unique Q, un unique R par la division euclidienne et conclure comme ça. Là je voulais bien préciser qu'on peut trouver cette décomposition. Pourquoi est-ce que c'est supplémentaire ? Parce qu'il y a cette propriété d'unicité pour la division euclidienne. Je pensais que c'était bien de le rappeler ou de montrer que c'était ça l'argument sous-jacent. Posez-moi des questions si vous en avez et sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye !

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