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Encadrer (-1)^n
Dans ce cours, nous avons étudié une autre type de suite nécessitant un encadrement. Il s'agit des suites où il y a un "-1 puissance n" inclus. Dans ce cas, il n'y a pas de limite pour "-1 puissance n", donc nous utilisons l'encadrement pour déterminer la limite de la suite UN.
Dans ce cas précis, UN est égal à 3 plus "-1 puissance n sur n". En raison du terme "-1 puissance n sur n", qui tend vers 0 en raison du facteur "sur n", nous pouvons voir que UN tend vers 3. Nous prouvons cela par encadrement. En partant de l'encadrement de "-1 puissance n", nous multiplions ensuite par un sur n, qui est positif, ce qui ne change pas le sens des inégalités, et nous ajoutons 3.
Ainsi, nous avons 3 moins 1 sur n, qui est plus petit que UN, qui est plus petit que 3 plus 1 sur n. Par conséquent, le terme de gauche tend vers 3, tout comme le terme de droite. Selon le théorème d'encadrement, nous en concluons que UN tend vers 3.
Il est important de souligner que le théorème d'encadrement permet non seulement de prouver la convergence, mais aussi de trouver la limite, ce qui en fait un théorème très puissant. Grâce à l'encadrement, nous avons donc montré que UN tend vers 3.
