All subjects
- All subjects
Calcul limite en un point fini par factorisation
Dans ce cours, nous allons apprendre une méthode pour calculer la limite d'une fonction lorsque l'on a une forme indéterminée. Dans ces cas-là, il est souvent possible de factoriser pour lever l'indétermination.
Dans le premier exemple, nous avons la fonction f(x) = x² - 2x / (x - 1). On peut remarquer que cette expression peut être simplifiée en utilisant l'identité remarquable (x - 1)² / (x - 1), ce qui donne x - 1. Ainsi, la limite de f(x) lorsque x tend vers 1 est 0, que ce soit à gauche ou à droite.
Dans le deuxième exemple, nous avons la fonction g(x) = (x² - 2x + 1) / (2x - 2). Nous pouvons simplifier cette expression en factorisant tout d'abord le numérateur par (x - 1)² et en factorisant ensuite par 2. Ainsi, g(x) peut s'écrire comme 2(x - 1)(x - 2). Pour trouver les racines de ce polynôme, nous pouvons utiliser la méthode classique du delta, qui nous donne les racines x1 = 1 et x2 = 2. En utilisant ces racines, nous pouvons factoriser g(x) en 2(x - 1)(x - 2). En simplifiant cette expression, nous obtenons (x - 1) / (2x - 2). Nous pouvons également remarquer que si nous avions testé la valeur 1 comme racine, nous aurions pu trouver directement la factorisation sans calculer le delta.
Ensuite, nous devons déterminer la limite de ces fonctions à droite et à gauche en 1. Pour f(x), la limite est de 1 des deux côtés. Pour g(x), quand x tend vers 1, la limite de x - 2 est -1, ce qui est différent de 0. Ainsi, la limite de g(x) quand x tend vers 1 est 0.
En conclusion, lorsque nous avons une forme indéterminée, il est souvent possible de factoriser pour simplifier l'expression et trouver la limite rapidement. Il est essentiel de s'entraîner sur ce type de méthodes pour bien les maîtriser.
