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Analyse Terminale

Définition et Propriétés

Dans ce cours, nous abordons le concept de logarithme et ses propriétés. Le logarithme naturel, noté ln, est une fonction définie sur les nombres réels strictement positifs. Il associe à tout nombre réel positif x, l'unique solution de l'équation E2y = x pour un y donné. Par exemple, si nous avons E2y = 2, nous pouvons utiliser le logarithme de 2 (log 2) pour représenter la solution. 

Le logarithme inverse de l'exponentielle est également une propriété importante. Mathématiquement, pour tout x positif, l'exponentielle de log x est égale à x. De même, pour tout x appartenant à R, le logarithme de l'exponentielle de x est égal à x. Ces deux fonctions sont donc réciproques l'une de l'autre, tout comme la racine carrée et le carré. Cependant, il est important de noter que le logarithme est uniquement défini pour les x positifs, contrairement à l'exponentielle qui est définie pour tous les réels.

Nous avons également mentionné quelques valeurs particulières telles que log 1 = 0, log e = 1 et log(1/e) = -1. Il est crucial de faire attention aux ensembles d'existence pour ces égalités, car ils diffèrent pour le logarithme et l'exponentielle.

En résumé, le logarithme est une fonction qui permet de trouver l'unique solution d'une équation exponentielle et possède une relation réciproque avec l'exponentielle. Il est important de prendre en compte les ensembles de définition pour éviter les erreurs.

Pour bien comprendre ce qu'est le logarithme, je vais l'utiliser tout au long des différentes vidéos. Une remarque assez importante, c'est un rappel sur le lien entre x², la parabole, et √x dans la fonction √. On va s'aider beaucoup de certaines de ces propriétés, du fait notamment que l'une et l'autre sont un petit peu réciproques l'une de l'autre. Alors, logarithme, définition et propriétés, on va appeler fonction logarithme n'est pas rien, notée ln, la fonction qui est définie sur r plus étoile, donc 0 plus l'infini xq, qui à tout nombre réel strictement positif x, associe l'unique solution de l'équation E2y égal x d'un connu y. C'est-à-dire qu'en fait, vous, vous avez déjà vu avec l'exponentiel qu'on sait résoudre des équations du genre E2y égal E exponent y égal 1, on sait que y égal 0. Si je vous mets un E2y égal 2, là, vous êtes dans la panade. C'est-à-dire que E2y égal 2, on ne sait pas quoi faire. Et on va décider d'appeler la solution à l'équation E2y égal 2, log de 2. Ou à E2y égal x, log de x, on peut faire pour n'importe quel x. Voilà. Donc l'idée c'est, quand vous mettez un y égal à quelconque ici, on va appeler cette distance ici, log de 1. Et vous commencez à voir peut-être pourquoi est-ce que je vous ai parlé de x2 et de x. L'idée c'est ça, mathématiquement, on va avoir, quel que soit x positif, l'exponentiel de log de x, égal x. En effet, log de x, c'est par définition la solution à E2y égal x, donc y égal E2x, donc on peut écrire E de log de x égal x. De la même manière, on pourrait écrire, quel que soit x appartenant à R, log de E2x égal x. En fait, ces deux fonctions vont être réciproques l'une de l'autre, de la même manière que la racine d'un x², ça fait x, ou la racine de x au carré, ça fait x. Cette relation entre racine et x², ça va être la même pour log de x et exponentiel x. Et de la même manière, d'ailleurs, que la relation entre racine et la parabole, ça ne sera pas vrai, ces deux relations, pour les mêmes x. On a vu par exemple que le log est défini uniquement pour les x positifs, donc à partir du moment où j'écris log de x, je ne peux parler que de x positif strict, c'est pour ça qu'ici j'ai quel que soit x positif strict, alors qu'ici on sait que E2x est défini pour tout R, donc c'est quel que soit x appartenant à R qu'on a cette deuxième relation. Certaines valeurs particulières, log de 1 égal 0, log de E égal 1, log de 1 sur E égal log de E de moins 1 égal moins 1. Donc l'erreur classique, c'est ce que je disais, il y a des ensembles d'existence pour ces égalités qui ne sont pas les mêmes. On a ces magnifiques courbes, ln est bien défini pour les x positifs, pas de ln si x est négatif, donc pas possible d'avoir la relation qui est là-haut. Très bien, petit rappel, c'était donc la même chose que je viens de vous dire, que racine de x au carré égal x, je suis obligé de dire que c'est pour les x positifs parce que sinon la racine n'existe pas, donc je ne peux pas écrire le symbole racine de x pour un x qui serait autre chose que positif. Dans l'autre sens, faites gaffe, c'est quel que soit x appartenant à R, racine de x2 n'est pas égale à x, il est égal à la valeur absolue de x. C'est un des pièges avec lesquels on peut vous avoir, c'est-à-dire que oui c'est défini pour toutes x appartenant à R, mais si x vaut moins 7 par exemple, ça fait moins 7 au carré, ça fait 49, vous n'allez pas me répondre que racine de 49 ça fait moins 7, vous allez répondre 7 parce qu'en fait vous avez fait spontanément la valeur absolue. Donc quand on écrit de manière théorique avec un x, on est obligé d'écrire racine de x2 égal à la valeur absolue de x. C'était un petit rappel, j'ai un peu fait le tour, ça c'est par cœur, j'ai un peu fait le tour, l'idée c'était vraiment ça principalement, comprendre que l'une et l'autre allaient être inverses l'une de l'autre, de la même manière que racine et la parabole le sont, et vous donner quelques petites premières complétés. Je vous retrouve dans la prochaine vidéo !

Déf fondamentale

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