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Simplifier des expressions
Dans ce cours, nous traitons des propriétés et des méthodes pour résoudre des inéquations avec des exponentielles et des logarithmes. Voici un résumé SEO-friendly des différentes équations et inéquations traitées dans la vidéo :
1. Équation : ln(x) = 2
- Composez par l'exponentielle pour obtenir x = e^2.
2. Équation : e^x + 1 = 5
- Composez par le logarithme pour obtenir x + 1 = ln(5).
- Résolvez pour x en soustrayant 1 de chaque côté : x = ln(5) - 1.
3. Équation : 3ln(x) - 4 = 8
- Divisez par 3 pour obtenir ln(x) - 4/3 = 8/3.
- Composez par l'exponentielle pour obtenir x = e^(4/3).
4. Inéquation : ln(6x - 1) > 2
- Vérifiez que l'expression à l'intérieur du logarithme est strictement positif (6x - 1 > 0).
- Composez par l'exponentielle pour obtenir 6x - 1 > e^2.
- Résolvez pour x en trouvant que x > (e^2 + 1)/6.
5. Inéquation : e^x + 5 > 4e^x
- Rassemblez tous les termes exponentiels ensemble pour obtenir e^x < 5/3.
- Composez par le logarithme pour obtenir x < ln(5/3).
6. Équation : ln(x - 3) + ln(9 - x) = 0
- Rassemblez les termes logarithmiques pour obtenir ln((x - 3)(9 - x)) = 0.
- Composez par l'exponentielle pour obtenir (x - 3)(9 - x) = 1.
- Résolvez l'équation quadratique pour trouver les solutions x1 = 6 + racine(8) et x2 = 6 - racine(8).
- Vérifiez que ces solutions sont dans l'intervalle valide (3, 9).
7. Inéquation : ln(3 - x) - ln(x + 1) < 0
- Vérifiez les valeurs possibles pour x (3 - x > 0 et x + 1 > 0), ce qui donne -1 < x < 3.
- Rassemblez les termes logarithmiques en utilisant la propriété ln(a) - ln(b) = ln(a/b) pour obtenir ln((3 - x)/(x + 1)) < 0.
- Composez par l'exponentielle pour obtenir (3 - x)/(x + 1) < 1.
- Multipliez par (x + 1) sans changer le sens de l'inégalité (car (x + 1) > 0), ce qui donne 3 - x < x + 1.
- Résolvez l'inéquation pour trouver x > 2.
Il est important de toujours considérer l'ensemble de définition de l'équation ou de l'inéquation traitée afin d'exclure les solutions invalides. Il est également essentiel de faire attention aux signes lors de la manipulation d'équations et d'inéquations. Le regroupement des termes logarithmiques et exponentiels est une méthode utile pour résoudre ces types de problèmes.
