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Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Fonctions Cos et Sin

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons corriger un exercice de dérivation portant sur des fonctions trigonométriques. Nous avons deux questions indépendantes, avec deux fonctions f utilisant des fonctions trigonométriques. Pour la première question, la fonction f(x) est définie comme sin(x) + cos(x) / (1 + cos(x)). Nous avons ici un quotient de fonctions. Avant de calculer la dérivée, il est important de vérifier le domaine de dérivabilité en résolvant l'équation 1 + cos(x) = 0. Nous savons que cos(x) est égal à -1 en pi et à des multiples de 2pi. Dans notre cas, nous étudions la fonction sur l'intervalle ouvert de 0 à pi, donc nous n'avons pas de problème d'annulation du dénominateur. La fonction est dérivable sur cet intervalle. Nous pouvons appliquer la formule de dérivation d'un quotient, qui est u'v - uv' / v^2. Ici, u(x) = sin(x) + cos(x) et v(x) = 1 + cos(x). Calculons les dérivées de u et v : u'(x) = cos(x) - sin(x) et v'(x) = -sin(x). En substituant dans la formule, nous obtenons f'(x) = (cos(x) - sin(x)) * (1 + cos(x)) - (sin(x)) * (sin(x) + cos(x)) / (1 + cos(x))^2. Après développement, nous obtenons f'(x) = 1 + cos(x) - sin(x) / (1 + cos(x))^2. C'est notre première dérivée. Maintenant, passons à la deuxième question qui concerne le produit de deux fonctions trigonométriques. Ici, pas de problème, la fonction est dérivable sur R car elle est composée de deux fonctions dérivables sur R. Nous avons un produit de la forme u(x) * v(x), avec u(x) = cos(2x) - 1 et v(x) = sin(5x) + 3. Appliquons la formule de dérivation d'un produit, qui est u'v + uv'. Calculons les dérivées de u et v : u'(x) = -2sin(2x) et v'(x) = 5cos(5x). En substituant dans la formule, nous obtenons f'(x) = -2sin(2x) * (sin(5x) + 3) + (cos(2x) - 1) * 5cos(5x). Après simplification, nous n'avons pas grand chose à faire de plus. Toutefois, il aurait été intéressant de vérifier si cela correspondait à une formule de trigonométrie connue, comme sin(A+B) ou cos(A+B), mais cela n'est pas possible ici avec les coefficients -2 et 5. Voilà pour les calculs de dérivées. N'hésitez pas à vous exercer sur des exercices similaires pour vous assurer que vous maîtrisez bien vos formules de dérivation. Vous pouvez également consulter nos flashcards pour vérifier vos connaissances. Bonne chance pour vos exercices !

Bonjour tout le monde, on va corriger cet exercice de dérivation sur des fonctions trigonométriques. Deux questions complètement indépendantes, avec deux fonctions f qui utilisent des fonctions trigonométriques. Un calcul classique de dérivation avec les fonctions sin et cos. Pour le premier, la fonction f de x, c'est sin de x plus cos x sur 1 plus cos x. Je reconnais un quotient. Je le redis à chaque fois, on vérifie l'ensemble de dérivabilité avant de calculer la dérivée. J'ai un dénominateur, il faut vérifier quand ça s'annule. Je résous l'équation 1 plus cos x égale à 0. C'est-à-dire que cos x égale à moins 1. Je sais, parce que je connais mon cercle trigonométrique, que le cosinus vaut moins 1 en pi. Tout à gauche du cercle trigo, en pi et modulo 2pi, donc pi plus 2kpi qui appartenant à z. On nous demande d'étudier la fonction sur 0pi ouvert, donc j'ai pas de problème d'annulation du dénominateur. Elle est bien dérivable sur cet intervalle, sur 0pi. Ma fonction est de la forme u sur v, c'est un quotient. J'applique la formule habituelle qu'il faut connaître par coeur de u sur v qui vaut u prime v moins u v prime sur v carré. Avec u ici qui vaut sinus x plus cos x, v de x qui vaut 1 plus cos x. J'applique bêtement ma formule. U prime, je calcule la dérivée de sin, c'est cos, la dérivée de cos c'est moins sin. Là j'ai mon u prime, là j'ai mon v que je recopie tel quel. Ensuite, moins v prime, la dérivée de 1 c'est 0, la dérivée de cos x c'est moins sin x fois u. Sur 1 plus cos x carré, je développe tout ça, parce que là je n'ai pas grand chose qui se simplifie apparemment. Je développe tous les termes. Ce que je vois, j'obtiens cos carré et un sin carré. Ca tombe bien, cos carré plus sin carré ça fait 1, d'où le 1 ici. Ensuite le reste, j'ai du moins sin x cos x et du sin x cos x qui se simplifient. Voici l'expression de ma dérivée, f prime de x vaut 1 plus cos x moins sin x, le tout sur 1 plus cos x carré. Voilà pour cette première dérivée. Ensuite, la deuxième dérivée, on a un produit de deux fonctions trigonométriques. Là, aucun problème, c'est bien dérivable sur R comme produit composé de fonctions dérivables sur R. Je reconnais un produit du type u, v. U, v, je peux écrire f de x qui est égal à u de x, v de x. Je reconnais bien mon produit et j'aurai f prime qui est égal à u prime v plus u v prime. Je vais appliquer cette formule, sachant que u prime v et u prime v sont pas hyper simples. Ici, la dérivée de cos de 2x moins 1, elle-même c'est une composée. C'est de la forme cosinus de 2w. Là, j'ai écrit de la forme g rond h, avec g qui vaut cos de x et h qui vaut 2x moins 1. Je calcule la dérivée de 2x moins 1 qui vaut 2, d'où le terme 2. C'est 2 fois moins sinus de 2x moins 1. Pareil pour la dérivée de sinus de 5x plus 3. Je calcule la dérivée de 5x plus 3, ça vaut 5. Ça me fait 5 cosinus de 5x plus 3. Mes fonctions u et v, je les avais mises ici. Maintenant que je connais les dérivées de chacun des fonctions u et v, je peux appliquer la formule u prime v plus u v prime. J'ai donc f prime de x qui vaut moins 2 sinus de 2x sinus de 5x plus 3 plus 5 cos de 2x moins 1 cos de 5x plus 3. Il n'y a pas grand chose à faire. Néanmoins, on aurait pu se dire que ça me fait penser à sinus A sinus B plus cos A cos B. Peut-être que c'est une formule d'addition du type cosinus A plus B ou sinus A plus B. Ça vaut le coup de se poser la question. Mais ici, ça ne sera pas possible. J'ai mes coefficients moins 2 et 5 qui sont là et là. Avec ceux-là, je me retrouve un peu coincé. Ici, on ne peut rien faire de plus. Voilà pour ces calculs de dérivées. Vous pouvez toujours vous exercer sur des exercices équivalents pour être sûr que tout est correct. N'hésitez pas aussi à regarder les flashcards pour vérifier que vous connaissez bien vos formules de dérivations. Ça devrait le faire pour ce genre d'exercice.

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