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Dans cette vidéo, nous abordons le thème de l'intégration par parties en mathématiques. L'intégration par parties est une formule qui permet de calculer des intégrales plus complexes.

La formule de l'intégration par parties est la suivante : l'intégrale de uv' est égale à la primitive de uv moins l'intégrale de u'v.

L'intégration par parties est ut

Bienvenue pour cette vidéo sur l'intégration par partie. Je vais essayer de faire une présentation assez extensive parce que c'est un sujet très important du chapitre et que ça tombe tout le temps en exercice. Donc deux choses, je vais essayer de vous montrer d'où ça vient et de démontrer un peu la formule, puis de vous montrer comment l'appliquer dans le concret et comment se dépatouiller avec. Alors, si on commence par l'expression assez basique du théorème, en gros, dans les bouquins ou comment vous le voyez en maths en général. Soit u et v de fonctions dérivables sur un intervalle a, b. Elle est à demettre des dérivés u' et v', d'accord ? Continue, merci. Alors, l'intégrale de uv' c'est égal à la primitive de u x v entre a et b moins l'intégrale entre a et b de u' x v. Vous allez me dire, ben t'es bien gentil, on avait une intégrale de uv', on retrouve toujours un calcul d'intégrale entre u' v. Mais justement, ça va être la fin de cette formule. C'est que des fois, on aura des uv' qui vont être moches et pas vraiment résolubles. Résolvable ? Bon, pas facile à résoudre. Et ensuite, on pourra peut-être aller voir, on pourra toujours dire qu'il y a cette formule d'équivalence entre les deux et peut-être se dire que, ben oui, mais si on se dépatouille, ça en fait c'est plus facile à calculer. Et ça va être l'idée générale. Donc, d'où ça sort ? À quoi ça sert ? Je viens d'y répondre. Le but, en gros, de ce chapitre et des chapitres sur les primitives, c'est de calculer des primitives ou de résoudre des équations différentielles. En fait, c'est un des grands défis pour les mathématiciens et les physiciens. C'est de réussir à résoudre des équations des fois très complexes. Et on se retrouve souvent à calculer des trucs assez compliqués. Et quand je dis terriblement compliqué, l'intégrale, on peut l'écrire assez simplement. Par exemple, juste le produit x de x, ce n'est pas évident. Si je l'ai comme ça, vous réfléchissez à votre tableau. J'ai mon tableau de dérivés, mon tableau de primitives. Ben non, en fait, ce n'est pas dans mon tableau de primitives. Ce n'est pas dedans, il faut que je me dépatouille. On va avoir une première solution. Donc, il y a des intégrales comme ça. Donc, celle-ci, ça va être gérable. Il existe des intégrales, donc des fonctions, où il n'est pas faisable de trouver des primitives. Par exemple, la fonction exponentielle de moins x carré. Donc, c'est compliqué parce que c'est une exponentielle d'un carré. Donc, ça fait beaucoup de puissances qui se suivent. Il y en a certaines où ce n'est pas possible. Mais certaines, on pourra avancer dès qu'on repèrera notamment un produit comme ça. Dès qu'on repère un produit de ce genre-là, on pourra tenter des trucs. Ce n'est pas dit que ça se débloque, mais ça sera peut-être faisable, notamment grâce à l'intégration par partie. Alors, d'où vient cette formule ? On va céder, pour gérer un peu des produits comme ça, on va céder la formule de dérivation de première. Donc, en première, on avait une formule qui nous donnait la dérivée d'un produit de fonction, u fois v. C'est ça qui va être la source de la formule d'intégration par partie. Donc, on va voir ça tout de suite. On se rappelle qu'en première, on avait uv' qui était égal à u'v plus v'u. Donc voilà, limite, ce n'est pas blovien, je vous dis uv' où vous répondez u'v plus v'u. Très bien. On avait ça en première. Plusieurs étapes. On va d'abord réorganiser les termes et isoler uv' parce qu'on sait que c'est ça qui nous intéresse dans la formule sur l'intégration. Donc, je réorganise un peu les termes, je mets celui-là tout seul, hop, j'obtiens ça. Deuxième étape, je prends la primitive ou l'intégrale de l'équation. J'obtiens que l'intégrale de v'u égale l'intégrale de uv' moins u'v. Et par linéarité, je peux dire que c'est égal à l'intégrale de uv' moins l'intégrale de u'v. La linéarité, c'est quand on dit l'intégrale de f plus g égale l'intégrale de f plus l'intégrale de g. Mais attendez une seconde. Si je regarde ça, je sais que l'intégrale, ça veut dire que je prends la valeur de la primitive entre b et a, et c'est bon. Le problème, c'est qu'on ne connaît pas la primitive de v'u, on ne connaît pas la primitive de u'v. Mais la primitive de uv', c'est super simple. C'est la primitive d'une dérivée. C'est la fonction elle-même, en fait. Donc là, je peux simplifier et dire que ça, cette première intégrale, je peux la remplacer par la primitive, c'est-à-dire la primitive de uv'uv pris entre b et a. Et donc c'est comme ça qu'on démontre la formule d'intégration par partie que j'ai montrée sur la première slide. On la démontre, on obtient l'intégrale de v'u, c'est égal à ça, le produit uv entre b et a moins l'intégrale de u'v. Donc, maintenant, quel est son intérêt ? Son intérêt, c'est que des fois, on a vu qu'on avait des intégrales trop compliquées, des primitives qu'on ne savait pas calculer. Donc, si on voulait calculer une intégrale, on n'allait pas pouvoir utiliser le tableau de primitives tout de suite, il fallait un peu jouer avec. Peut-être que ça, c'est un des jeux, un des tripotages qu'on peut faire de l'équation qui va nous aider à nous débloquer. Regardons par exemple l'exemple de départ. Donc ça, c'est ce que je racontais au début. Ce que je vous racontais à l'instant, c'est l'idée qu'on va pouvoir regarder toute... Quand on a un produit notamment à intégrer, ou à primitiver si vous voulez, quand on a un produit, on pourra se dire peut-être qu'on peut interpréter chacun des termes, comme un u' et un v', et voir s'il n'y a pas moyen d'inverser cette intégrale avec la formule d'intégration par partie. Donc faisons-le dans le cas concret de x et 2x. Donc première étape, je vais me dire que je vais reconnaître un u et un v'. Je vais prendre u égal x, v' égal e2x. Vous pourriez argumenter et me dire oui, pourquoi pas l'autre ? On va parler de ça dans une étape d'après, justement. Donc là, je prends un u et un v' qui vont fonctionner proprement. Donc première étape, je pose u2x égale x, v'2x égale e2x. Étape 2, je calcule. Parce qu'ensuite, je vais dire que c'est égal à l'intégrale de u'v, mais il faut que je calcule absolument u', donc u'2x va être égal à 1 ici, et v', à partir de v', va être égal à e2x. Je pourrais prendre e2x plus 2. Je peux prendre n'importe quelle primitive et une constante près, honnêtement, on ne va pas s'embêter, on prendra toujours 0, parce que pourquoi compliquer l'écriture ? Donc v' ça m'arrange bien, c'est très simple à faire. J'obtiens donc la formule ici. J'applique la formule, là je vous ai remis la formule théorique, ça va donner donc u'v en primitive entre 4 et 1 moins l'intégrale de u'v. Quand j'applique ici à mon cas, j'obtiens donc u'v, j'ai u ici fois v, x e2x entre 1 et 4, moins l'intégrale cette fois-ci de u'v 1 fois e2x. Et vous voyez la force de cette formule ici. x e2x ingérable, 1 fois e2x, super simple. Parce que justement, j'ai simplifié un des termes, ce ne sera pas toujours le cas, il y a des cas où ça ne marchera pas, mais il y a pas mal de cas où quand j'ai un produit de deux fonctions, je vais pouvoir faire une astuce de ce genre. Donc le terme ici, il est juste calculable, c'est la valeur de ça en 4 et en 1, et ici, je sais que je vais pouvoir faire maintenant une intégration à partir de mon tableau de primitive notamment. Alors, j'obtiens ce truc-là, et c'est ce que je dis, donc pour la première fois, avec cette formule, pour la première fois d'un produit, on a accès à deux intégrales au choix. Des fois, il y en a une qui sera ingérable directement, des fois, une qui est plus facilement ingérable. Très bien. Alors, je reviens sur le truc de tout à l'heure. Comment est-ce qu'on sait laquelle il faut dériver, laquelle il faut primitiver, laquelle est un u, laquelle est un v' ? Eh bien, il faut essayer, c'est un peu l'esprit général. Il faut tester et se dire, des fois, on partira dans la mauvaise direction. Par exemple, si je dis maintenant que v' c'est x et que u c'est e2x, qu'est-ce que ça donne ? Je pose u2x égale e2x, v'2x égale x. Deuxième étape, on calcule u' et v'. Deuxième étape, j'obtiens u' égale e2x, parce qu'en dérive, l'exponential, ça donne elle-même, et j'obtiens v égale x² sur 2, une primitive de x. Bon, on n'a plus que la formule. C'est pire ! Parce qu'en effet, le premier terme ici, entre crochets, je peux le calculer entre 4 et 1, il n'y a pas de problème, mais je me retrouve avec une primitive ici, enfin une intégrale, qui est horrible. C'est-à-dire, j'avais x e2x, je ne savais pas gérer, maintenant, j'ai du x² e2x, c'est encore pire. Donc là, ça ne m'arrange pas. Vous allez me dire, mais est-ce qu'à chaque fois, je perds mon temps à jouer à pile ou face ? Il n'y a pas vraiment à savoir quel chemin prendre. Ça pourrait être oui, la réponse, mais en fait, moi, je vous conseille d'apprendre par cœur une certaine liste de fonctions qui, quand vous les rencontrez, auront tendance à jouer le rôle de u et d'autres fonctions qui auront tendance à jouer le rôle de v'. Alors en bonus, je vais vous filer quelques petites exceptions. En fait, j'ai une grande règle pratique pour les exercices. Dans 90% des cas, ça va marcher. C'est la règle LPTE. Alors LPTE, c'est quoi ? LPTE, c'est logarithme, polynôme, trigonométrie, exponentielle. LPTE. L'idée de ça, c'est un moyen mnémotechnique, si vous voulez, c'est de dire dès que vous avez un exo avec un produit de fonction à intégrer, vous regardez vos deux fonctions. Dès que vous avez un logarithme, vous le dérivez, vous l'appelez u. Si vous avez un logarithme, c'est lui qui s'appelle u. Si vous n'avez pas de logarithme, on recommence. Est-ce que j'ai un polynôme ? Si j'ai un polynôme, c'est lui qui s'appelle u. Si je n'ai pas de polynôme, je passe à la troisième étape. Je passe à la trigonométrie. Si j'ai une fonction sine ou cose, c'est elle qui sera dérivée en priorité. Enfin, si je n'ai ni logarithme, ni polynôme, ni trigonométrie, je passe à l'exponentielle. Et là, c'est elle qui sera dérivée en priorité. Mon ordre de priorité de qui va avoir tendance à se faire dériver, c'est logarithme s'il est présent. Pourquoi ? Principalement parce qu'il est horrible à intégrer face à un exercice en soi. Ce n'est pas un truc dont on a une primitive facilement. S'il n'y a pas de logarithme, c'est le polynôme qui sera dérivé en premier. S'il n'y a ni logarithme, ni polynôme, c'est la trigo, etc. Donc exemple sur ce qu'on a vu tout à l'heure. Sur ce qu'on a vu tout à l'heure, on peut faire L, P, T, E. Y a-t-il un logarithme ? Non. Y a-t-il maintenant comme candidat pour être u un polynôme ? Oui, il y a X. Boom, je pose U de X et il y a le X. V prime de X et il y a l'autre, E de X. On recommence. Si maintenant j'ai log de X, là c'est un peu piégeux. A votre avis, qu'est-ce que je fais ? Log de X, direct, L, P, T, E. Y a un log, donc c'est lui qui sera mon U. Je pose U de X et il y a le log de X. Mais alors, c'est quoi mon V prime ? L'astuce ici, c'est de dire que V prime de X, et ça c'est une astuce d'exercice qui tombe tout le temps donc je vous conseille de la retenir, V prime de X, en fait, c'est 1. Vu que c'est 1, je vais pouvoir écrire U de X égal log de X, V prime de X égal 1. Très bien. Dernier exemple, si j'ai X sinuse de X, L, non, polynôme, oui, c'est le X qui sera mon U de X. Et donc direct, je pose l'autre qui est égal au V prime par définition. Voilà. Ce sont quelques exemples assez basiques. Mais c'est pour vous dire que cette méthode L, P, T, E marche dans 90% des cas. Mais alors, il faut aussi s'adapter parce qu'il reste 10% des cas où malheureusement le L, P, T, E dont je parle là ne marchera pas. Donc par exemple, il y a des exercices, donc je vous mets un exemple d'exception en fait, comme ça. Il y aura des exercices où c'est autre chose que la règle L, P, T, E qu'il faudra faire, donc en l'occurrence ici, ça sera l'inverse. Par exemple, ce genre d'exo, il faudra faire une double intégration par partie. Donc il y a certaines intégrales comme celle-ci, puis après on verra ça dans les vidéos de méthodes et d'exercices plus difficiles. C'est un challenge, mais je vous le laisse ici. Il y aura des primitifs qui seront beaucoup plus complexes et sur lesquels la méthode L, P, T, E ne fonctionnera pas. Donc j'espère que cette vidéo vous a bien clarifié les idées sur ce que c'est l'intégration par partie. J'essaie de démontrer, enfin je vous ai démontré d'où est-ce que ça venait, pourquoi on l'utilise et surtout comment on l'utilise. Pour ne pas être dans le vide et être un peu dans le pile ou face permanent, je vous conseille d'apprendre un peu cette règle L, P, T, E. D'apprendre ensuite quelques exceptions, quelques classiques, c'est toujours un peu les mêmes exos qui retombent. Surtout pour les exos un peu plus durs, ils mettent toujours le même genre de trucs, le même genre d'astuces. Et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Si vous avez des questions ou si vous voulez aller plus loin, etc. Allez dans la FAQ pour la poser, pour voir si quelqu'un ne l'a pas déjà posé avant vous. Et je vous dis à la prochaine !

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