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Concentration LGN

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet de l'inégalité de concentration à travers un exercice. L'exercice porte sur une urne contenant des jetons, chacun avec un nombre différent inscrit dessus. L'objectif est de déterminer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire représentant les nombres obtenus en tirant un jeton de l'urne. 

Ensuite, l'exercice demande combien de tirages avec remise peuvent être effectués pour garantir, avec un risque de 5%, que la moyenne des nombres obtenus soit comprise entre 5 et 5,4.

Dans la première partie de l'exercice, Corentin calcule l'espérance de la variable aléatoire en utilisant les probabilités associées à chaque nombre sur les jetons. Il obtient une espérance de 5,2.

Ensuite, il calcule la variance en utilisant la formule des écarts à la moyenne. Il trouve une variance de 6,56.

Dans la deuxième partie de l'exercice, Corentin applique l'inégalité de concentration en s'assurant que les conditions nécessaires sont remplies. Il considère l'échantillon des variables aléatoires représentant les résultats de plusieurs tirages successifs et calcule la probabilité que la moyenne de cet échantillon soit supérieure ou égale à 0,2 de l'espérance.

En utilisant l'inégalité de concentration, il obtient une condition suffisante exprimée en fonction de la taille de l'échantillon. Il conclut que si la taille de l'échantillon est supérieure ou égale à 3280, alors on est certain, avec un risque de 5%, que la moyenne obtenue sera comprise entre 5 et 5,4.

En résumé, cette vidéo porte sur l'exercice de l'inégalité de concentration dans lequel Corentin détermine l'espérance et la variance d'une variable aléatoire représentant les nombres obtenus en tirant des jetons d'une urne. Il utilise ensuite l'inégalité de concentration pour déterminer le nombre de tirages nécessaires pour garantir une moyenne spécifique avec un certain risque.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice sur l'inégalité de concentration. Commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé. Une urne contient deux jetons sur lesquels figure le nombre 3, deux jetons sur lesquels figure le nombre 5, et un jeton sur lesquels figure le nombre 10. Et dans un premier temps, on tire un jeton dans cette urne et on considère la variable aléatoire X donnant le nombre obtenu. Et on nous demande de déterminer l'espérance de X et la variance de X. Ensuite, on se demande combien de tirages avec remise peut-on effectuer dans cette urne pour être sûr au risque de 5%, autrement dit au seuil de 95%, que la moyenne des nombres obtenus soit strictement comprise entre 5 et 5,4. Commençons tout de suite par la question 1. Moi, ce que j'ai commencé par faire, c'est donner la loi de X. Je sais que la probabilité que X soit égale à 3, c'est 2 sur 5. La probabilité que X soit égale à 5, c'est 2 sur 5. Et la probabilité que X soit égale à 10, c'est 1 sur 5. À partir de là, l'espérance, c'est égal à 3 fois la probabilité que X soit égale à 3, 5 fois la probabilité que X soit égale à 5, et 10 fois la probabilité que X soit égale à 10. Et on trouve que c'est égal à 5,2. Ensuite, on se rappelle que la variance, c'est la somme des carrés des écarts à la moyenne. Autrement dit, la somme des carrés des écarts à l'espérance. Ça, c'est égal à la probabilité que X soit égale à 3, fois l'écart de 3 à 5,2 au carré, plus la probabilité que X soit égale à 5, fois l'écart de 5 à 5,2 au carré, plus la probabilité que X soit égale à 10, fois l'écart de 10 à 5,2 au carré. Et ça, on trouve que c'est égal à 6,56. Passons maintenant à la question 2. La question 2, en fait, ce qu'on va vouloir faire, c'est appliquer l'inégalité de concentration, mais dans un sens un peu particulier, vous allez voir. Mais avant de pouvoir appliquer l'inégalité de concentration, il faut bien vérifier qu'on se place dans les hypothèses qui nous permettent d'appliquer cette inégalité. Qu'est-ce qu'on remarque ? On remarque que les tirages étant avec remise, la liste des variables aléatoires X1, Xn, donnant le résultat des n tirages successifs, est un échantillon de variables aléatoires, d'espérance 5,2 et de variance 6,56. De là, on peut bien appliquer notre égalité de concentration. Soit donc M, la variable aléatoire moyenne de cet échantillon. Et nous, ce qu'on veut trouver, c'est le n, telle que la probabilité que M-5,2 soit supérieure ou égale à 0,2, soit inférieure ou égale à 0,05. Mais ça, l'inégalité de concentration, elle permet de dire quelque chose. Elle nous dit déjà que la probabilité que M-5,2 soit supérieure ou égale à 0,2, c'est inférieure ou égale à cette quantité-là. En calculant, c'est inférieure ou égale à 164 divisé par n. Autrement dit, si on trouve un n assez grand pour que cette quantité-là soit assez petite, de telle sorte qu'elle soit inférieure à 0,05, on aura gagné. C'est exactement ce qu'on dit ici. Une condition suffisante pour que la probabilité que M-5,2 soit supérieure ou égale à 0,2, que cette probabilité-là soit inférieure ou égale à 0,05, c'est que 164 divisé par n soit inférieure ou égale à 0,05. Et n, je le rappelle, c'est la taille de l'échantillon, et c'est exactement sur ça que la question porte. Autrement dit, en résolvant mon inégalité, je trouve que si n est supérieure ou égale à 3280, on est sûr au risque de 5% que la moyenne obtenue sera comprise entre 5 et 5,4.

Concentration et taille d'échantillon

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