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Décomposition en facteurs premiers
Dans cet exercice, nous cherchons à déterminer les couples d'entiers (A, B) qui satisfont à l'équation 3 * 21^A = 14 * 9^B. Pour cela, nous utilisons la décomposition en facteurs premiers. Cette décomposition nous permet d'identifier les puissances présentes dans chaque terme de l'équation.
Nous commençons par la décomposition du premier terme, 3 * 21^A. Le nombre 3 étant premier, il se retrouve dans la décomposition. Nous nous concentrons ensuite sur la décomposition de 21^A, qui est équivalent à 3^A * 7^A. En appliquant les règles de calcul des puissances, nous obtenons 3^A * 3^A * 7^A, soit 3^(A+1) * 7^A. Ainsi, la décomposition de 3 * 21^A est 3^(A+1) * 7^A.
Nous procédons de la même manière pour le second terme, 14 * 9^B. La décomposition du nombre 14 est 2 * 7. La décomposition de 9^B est 3^(2B). En multipliant les puissances, nous obtenons 2 * 3^(2B) * 7. Il faut alors trouver des valeurs de A et B qui rendent ces deux décompositions identiques.
Cependant, le problème se pose car le facteur 2 n'apparaît pas dans la décomposition de 3 * 21^A, tandis qu'il est présent dans la décomposition de 14 * 9^B. Comme le facteur 2 ne peut pas être compensé par les variables A et B (qui sont liées aux facteurs 3 et 7), il n'existe aucun couple de valeurs (A, B) satisfaisant l'équation.
En conclusion, il n'existe aucun couple (A, B) vérifiant l'égalité 3 * 21^A = 14 * 9^B.
