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Nombres Premiers

Dans cet exercice, on démontre l'existence d'une infinité de nombres premiers. 
On suppose initialement que le nombre de nombres premiers est fini, puis on crée un ensemble P qui contient tous ces nombres premiers. 
Ensuite, nous construisons un nouveau nombre P étoile en multipliant tous les nombres premiers de P ensemble et en ajoutant 1. 
La première question consiste à montrer que pour tout i dans P, Pi ne divise pas P étoile. 
Supposons par l'absurde qu'il existe un i tel que Pi divise P étoile. Par construction, P étoile est congru à 1 modulo Pi, ce qui contredit le fait que Pi divise P étoile. 
Nous en déduisons qu'aucun nombre premier de l'ensemble P ne divise P étoile. 
Ensuite, nous montrons par contradiction que P étoile n'est pas un nombre premier car il est strictement plus grand que le plus grand nombre premier de P. 
Or, selon le critère d'arrêt, il existe un nombre premier Pi dans P qui divise P étoile, ce qui contredit la première question. 
Ainsi, nous avons une contradiction et cela prouve qu'il existe une infinité de nombres premiers.

Salut ! Dans cet exercice, on va montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. Cette démonstration, cet exercice, il faut savoir le faire. C'est quelque chose qu'on apprend, il y a une infinité de nombres premiers, mais souvent on nous le demande, ou c'est bien d'avoir au moins une idée de savoir comment on fait pour montrer qu'il en existe une infinité. On va voir, ça se démontre assez facilement. Donc, la construction de l'exercice, c'est la suivante. On note P, donc c'est N nombres, qu'on appelle P1, P2, P3, jusqu'à PN. Et on dit que c'est l'ensemble des nombres premiers. Parce que ce qu'on a fait, c'est qu'on a supposé qu'il en existe un nombre fini. C'est ce qu'on appelle un raisonnement par l'absurde. Ça veut dire qu'on suppose quelque chose qui a priori est faux, et le but c'est d'arriver à une contradiction. Donc en gros, la supposition qu'on a faite, ça conclut qu'elle est fausse parce que sinon on aurait un problème. Donc là, ce qu'on a supposé de potentiellement faux, c'est qu'il en existe un nombre fini. Donc s'il en existe un nombre fini, on en fait une liste. Donc il y en a N. Alors N, ça ne veut pas dire qu'il y en a 20, il pourrait y en avoir 1 milliard. Mais peu importe, ça veut dire qu'à un moment, ça s'arrête. Une fois qu'on a pris les 1 milliard, ou peu importe les N premiers nombres premiers, en fait on les a tous pris. C'est ça qu'on suppose, qu'il y en a un nombre fini. Et du coup, P, c'est l'ensemble de ces nombres premiers. Voilà, on le note, P. Et du coup, on va créer un nouveau nombre qu'on appelle P étoile, qui est le produit de tous ces nombres premiers, plus 1. D'accord ? On a multiplié tous les nombres premiers, parce qu'on a dit qu'il y en a un nombre fini, donc on les multiplie tous ensemble. Ça nous fait un nombre, d'accord ? C'est un nombre entier. Et on ajoute 1. Donc voilà, ça c'est la construction de P étoile. Première question, on nous dit, montrer que pour toute i appartenant à un grand N, donc ça veut dire, peu importe l'indice, P i ne divise pas P étoile. C'est ça qu'il faut montrer. Ça veut dire qu'en gros, si on prend n'importe quel nombre premier, donc le i qui parcourt un grand N, ça veut dire en gros, on va prendre n'importe lequel, et bien il ne divise pas P étoile. C'est ça qu'on va montrer. On va encore une fois le montrer par l'absurde. On suppose qu'il existe un i là-dedans, tel que P i divise P étoile. Ça veut dire qu'on suppose qu'il en existe un. Son indice, c'est i. D'accord ? Voilà, on suppose qu'il existe. Mais P étoile, il est congru à 1 modulo P i, parce que le fait qu'il y ait P i qui apparaisse dans ce produit, ça fait que le produit est congru à 0 modulo P i. Donc P étoile, c'est congru à 0 plus 1 modulo P i, donc c'est juste congru à 1 modulo P i. Ça, c'est par construction de P étoile. Mais comme P i est supérieur ou égal à 2, ça contredit le fait que P i divise P étoile, parce que si P i divise P étoile, P étoile est congru à 0 modulo P i. Mais c'est faux. P étoile est congru à 1 modulo P i, donc on a une première contradiction. Ça veut dire qu'il n'existe aucun indice tel que P i divise P étoile, donc n'importe quel nombre premier de cet ensemble de nombres premiers ne divise pas P étoile. Une autre façon de le dire serait que P étoile n'est divisible par aucun nombre premier dans cet ensemble, qui, en théorie, contient tous les nombres premiers. En déduire une absurdité et conclure, c'est là où on va avoir la contradiction sur qu'il ne peut pas y en avoir un nombre fini. On va voir comment faire. Par construction, P étoile est strictement plus grand que P n, parce que le P n est là-dedans, mais déjà, on l'a multiplié par plein d'autres nombres. À supposer qu'on ne l'a pas multiplié, même si c'est le seul, on a fait plus 1. À partir de là, P étoile est strictement plus grand que P n. Donc il n'est pas premier, parce que P indice grand N est le plus grand des nombres premiers. Étant donné que P étoile est strictement plus grand que P n, on sait que, par hypothèse qu'on a faite, qui va être fausse, on sait que P étoile ne peut pas être un nombre premier, parce qu'il est plus grand que le plus grand des nombres premiers. Donc voilà, il est strictement plus grand. Mais d'après le critère d'arrêt, il existe un nombre premier, P i, dans l'ensemble des nombres premiers, qui vérifie que P i divise P étoile. Parce que le critère d'arrêt, c'est ce qu'il nous dit. Le critère d'arrêt nous dit qu'on a un nombre premier qui divise chaque nombre. Enfin, chaque nombre est divisé par un nombre premier. Après, le critère d'arrêt nous donne même une précision par rapport à la racine carrée. Mais là, ce n'est pas ça qui nous intéresse. Ça nous dit juste que chaque nombre a un diviseur premier dans sa décomposition en facteur premier. Mais du coup, ce petit morceau là, il existe un nombre premier tel que P i divise P étoile, ça contredit ce qu'on a trouvé à la question 1. Dans la question 1, on a montré qu'il n'y en existe aucun. Dans tous les nombres premiers, il n'y en a aucun qui divise P étoile. Mais là, on voit qu'il en existe un qui divise P étoile. Et donc la contradiction, elle est là. Parce que ça, c'est impossible, d'après la question 1. Donc la contradiction, elle est là. Et donc, c'est impossible que l'ensemble des nombres premiers soit fini. Et en gros, ça veut dire qu'il existe une infinité de nombres premiers. Et donc voilà comment montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. Et ça conclut en même temps l'exercice.

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