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Récurrence

Dans cette vidéo, nous allons vous introduire le principe de la méthode de démonstration par récurrence. Cette méthode s'applique uniquement aux propriétés qui dépendent de n, principalement utilisée dans le chapitre des suites. Bien que cette méthode soit souvent appliquée sans trop de difficulté, il est important de comprendre pourquoi elle fonctionne réellement.

Nous allons utiliser un exemple classique pour expliquer cela, la formule de la somme des n entiers consécutifs. Cette formule peut être exprimée de manière compacte, en multipliant le dernier entier à sommer par le suivant, n+1, et en divisant le tout par 2. La démonstration par récurrence ne va pas vous fournir une formule à partir de rien, mais plutôt permettre de prouver une formule pour laquelle vous avez déjà une intuition.

Il est souvent nécessaire de faire des calculs pour des cas particuliers, comme n = 0, n = 1, n = 2, afin de vérifier que la formule se vérifie bien. Une fois que vous avez cette intuition, vous pouvez utiliser la démonstration par récurrence. L'idée est de prouver que si la propriété est vraie à un certain stade, elle sera aussi vraie à l'étape suivante. Ainsi, il n'est pas nécessaire de prouver la propriété pour chaque valeur de n individuellement.

Il est important de noter qu'il faut une "pitch net" initiale pour que la démonstration par récurrence fonctionne. Cela signifie qu'il doit exister un moment où la propriété est vraie. Par exemple, si la propriété est vraie pour n = 0 et qu'elle implique la propriété pour n = 1, 2, 3, etc., alors la démonstration par récurrence est valide.

En résumé, il y a trois points importants à retenir de ce cours. Premièrement, connaître le principe général de l'initialisation et de l'hérédité dans la démonstration par récurrence. Deuxièmement, comprendre que l'initialisation peut commencer à n = 0 ou à une autre valeur. Et enfin, savoir utiliser la démonstration par récurrence dans des exemples concrets, comme les suites ou la démonstration d'une formule générale.

Il est également important de comprendre les différentes façons de montrer la transmission de la propriété d'un rang à l'autre, ce qui nécessite de la pratique et de l'expérience. Cela vous permettra d'être à l'aise avec cette méthode et d'obtenir de bons résultats dans vos démonstrations.

Voilà, c'est tout pour cette introduction. À bientôt dans la prochaine vidéo.

Dans cette vidéo, je vais vous introduire le principe de la méthode de démonstration par récurrence. Le premier point, c'est que la méthode de démonstration par récurrence s'applique uniquement à des propriétés qui dépendent de n. C'est pour ça qu'en général, on arrange cette méthode dans le chapitre des suites. J'ai vu au cours des années, les étudiants souvent réussir à l'appliquer sans trop de problèmes, parce qu'en fait, c'est pas trop compliqué à appliquer, mais souvent, j'ai l'impression que ça leur échappe un peu le pourquoi, la raison fondamentale de pourquoi ça marche. Pourquoi est-ce que c'est valide comme méthode de démonstration ? Je vais essayer de vous démontrer ça, en tout cas de vous l'expliquer avec intuition, basé sur un exemple. J'ai pris un exemple assez classique, qui est la formule de la somme des n entiers consécutifs. C'est-à-dire 1, plus 2, plus 3, plus 4, jusqu'à plus n quelconque de votre choix. En fait, il se trouve qu'il y a une formule compacte pour ça. La formule compacte, c'est le dernier entier que vous voulez mettre dans votre somme, multiplié par le prochain, n plus 1, divisé par 2. Ce qu'il faut savoir sur la démonstration par récurrence, c'est qu'elle ne va pas vous sortir de nulle part une formule. C'est plutôt une méthode qui va vous permettre de démontrer une formule dont vous avez déjà senti une intuition. C'est-à-dire que vous êtes capable d'écrire la formule, vous dites bon, je sens que c'est ça, je sens que c'est n n plus 1 sur 2 et ça a l'air de marcher, je vais essayer de démontrer que c'est vrai après. Donc en gros, il faudra souvent, soit on vous dira dans les exos, bah, démontrez cette propriété de n par récurrence, là vous n'avez pas trop creusé la tête, soit il faudra astucieusement faire des calculs de la propriété, par exemple pour n égale 0, n égale 1, n égale 2, et en voyant quelques termes se dire, à coup sûr c'est ça, à coup sûr ça dépend de n de cette manière là. Maintenant que j'ai l'intuition, je vais le démontrer par récurrence. Donc le problème c'est que, en fait, j'ai pas le temps quand je vais montrer une propriété pour tous les n, je peux pas le faire pour tous les n à la main, quoi. Je pourrais essayer avec n égale 2, ça fait 1 plus 2, est-ce que 1 plus 2 c'est bien égal à 2 fois celui d'après, 2 fois 3 divisé par 2, ça fait 2 fois 3, 6 divisé par 2, 3, ça fait bien 3, ça marche. Je pourrais réessayer pour 1 plus 2 plus 3, on voit que ça fonctionne, mais je vais pas démontrer l'ensemble parce que, bah, il y en a une infinité et donc j'ai pas le temps. Donc l'idée c'est, on va se demander, est-ce que ça serait pas possible de démontrer que quand j'ai la propriété qui est vraie à un certain instant, alors ça implique qu'elle soit vraie à l'instant d'après. Ça, ça serait super, c'est-à-dire que si j'arrivais à démontrer ça, si je montre qu'elle est vraie à l'instant 3, pour n égale 3, si vous voulez pour l'entier 3, alors ça implique que, boum, elle est vraie pour 4. Donc si j'ai cette espèce d'hérédité, de transmission de la propriété d'un rang à l'autre, bah en fait je peux m'arrêter là. Une fois que je l'ai pour 4, hop, 4, c'est vrai. Ça va donc être vrai pour 5. Et donc en fait, je vais continuer comme ça. Ça va être vrai pour 3, ça va impliquer pour 4, donc pour 4 ça implique pour 5, pour 5 implique pour 6, à l'infini. Vous avez compris. L'idée c'est qu'en fait, si j'ai cette propriété de transmission, j'ai pas à me prendre la tête à tous les faire un par un. C'est bon. Le petit truc qui manque, et que des fois les élèves ne comprennent pas trop je crois, c'est qu'il faut en fait une pitch net. C'est un peu, on dit souvent, un effet domino, la récurrence, c'est-à-dire que je l'ai quelque part et ça implique, blop blop blop, la propriété sur tous, le meilleur bruitage de l'année. Ça implique la propriété partout, mais il faut quand même qu'il y ait une pitch net initiale. C'est-à-dire qu'en fait, si c'est jamais vrai, ça marche pas. Il faut qu'il y ait un moment, une petite pitch net. Il faut que ça ait été vrai, par exemple, à n égale 0, et que, pouf, ça implique pour 1, 2, 3, 4. Si c'est vrai nulle part, mais que je démontre théoriquement que ça pourrait se transmettre, j'ai rien. C'est-à-dire que j'ai juste des dominos posés, mais ils sont jamais écroulés. Donc ça va être un petit peu une dénuance, et ça va être pour ça que souvent les profs vont un peu vous dire, n'oublie pas l'initialisation. On va appeler initialisation la pitch net, et héréditer la transmission des dominos. Il faudra surtout pas l'oublier, et c'est pour cette raison-là. Il faut vraiment imaginer que vous avez compris le principe de ça se transmet, mais il faut quand même transmettre quelque chose, il faut transmettre une vérité. C'est pour ça qu'on insistera beaucoup là-dessus. Donc, petit bilan, on aura trois points de cours, en fait deux gros points de cours principaux à connaître dans ce chapitre. Le principe général, c'est donc l'initialisation et l'hérédité. Savoir que c'est ça le principe général de la récurrence, et savoir le rédiger proprement. On verra, il faudra s'adapter un peu à ce que veulent vos profs, mais il y aura une rédaction type à respecter, sinon on perdra des points bêtes. Le deuxième point, c'est un peu une note, en fait, c'est l'initialisation. La première pitch net n'est pas nécessairement pour n égale 0, il ne faudra pas être stressé ou perturbé par le fait qu'on puisse commencer la pitch net à n égale 3 ou 4. Enfin, le troisième point de cours, c'est une inégalité classique, qui s'appelle l'inégalité de Bernoulli, et il faudra savoir la démontrer et la démonstration sera par récurrence. En termes de méthode, il y en aura trois également. Des trucs qui tombent souvent, en fait, c'est un, l'application aux suites. Des fois, vous avez des suites et si vous voulez démontrer qu'elles ont un signe constant, par exemple, ou qu'elles sont croissantes ou décroissantes, la récurrence pourrait être une bonne méthode. Le deuxième exemple, très classique, la méthode un peu classique qu'il faut connaître, c'est un peu dans le domaine de ce que j'ai expliqué pour 1, 2, 3, jusqu'à n, pour démontrer une formule générale, souvent les exercices de terminale vous demanderont ayez l'intuition de la formule avec quelques termes, ensuite démontrez-la par récurrence. On fera un exemple concret de ça. Et enfin, petit 3, c'est plus lié à des galères que j'ai remarqué, je les élève à moi. Des fois, en fait, la manière de montrer la transmission peut être faite, enfin, il peut y avoir plusieurs manières de faire, et il y a peut-être moyen que vous hésitiez un peu. Il y aura de la pratique à avoir, mais j'ai envie que vous ayez à peu près deux visions, enfin, une vision un peu globale de différentes manières de faire pour démontrer cette hérédité, cette transmission. Voilà, c'est tout pour cette intro, à tout de suite dans la prochaine vidéo.

Introduction à la récurrence

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