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Définitions

Dans ce cours, nous abordons la définition formelle de la limite, qui peut être difficile à comprendre pour certains. Une limite signifie que ma fonction tend vers l'infini lorsque x devient infini. Peu importe la hauteur à laquelle je me fixe, il y aura toujours un moment où ma fonction dépassera cette hauteur. Pour illustrer cela, nous avons tracé une fonction racine carrée de x. Peu importe la hauteur m que je choisis, il y aura un réel a à partir duquel ma fonction sera toujours au-dessus de cette hauteur.

Dans l'exemple donné, nous prenons f(x) égal à la racine carrée de x au carré moins 1. Une fois que nous comprenons cette définition, il s'agit simplement de montrer l'existence d'un a qui dépendra de m en résolvant l'inéquation f(x) > m. Dans notre cas, cela devient x carré > m + 1. En regardant la limite à l'infini, nous prenons la solution positive, mais n'oublions pas qu'il y a aussi une solution négative. Ainsi, nous trouvons que x doit être supérieur à racine carrée de m carré + 1.

En utilisant l'implication inverse, nous montrons que si x est supérieur à ce a spécifique, alors f(x) sera supérieur à m. Nous avons donc utilisé la définition formelle de la limite pour montrer que la fonction tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini. Il est important de s'exercer avec différentes fonctions pour trouver la valeur de a qui convient. En fin de compte, il s'agit simplement de résoudre une équation.

On va maintenant regarder quelque chose que les élèves n'aiment pas forcément, c'est d'exprimer la définition formelle de la limite. Donc ça, c'est quelque chose que pour ceux qui continueront les maths l'année prochaine, vous ferez de façon usuelle, mais là on vous a un peu juste introduit le concept, et du coup c'est pas forcément évident. L'idée c'est, déjà il faut bien comprendre c'est quoi une limite, dire qu'en plus infinie ma fonction tend vers plus infinie. Ça veut dire que quelle que soit la hauteur que je me fixe, il y a forcément un moment où je vais la dépasser, et je serai toujours au-dessus. C'est ça l'idée en fait, c'est-à-dire, quelle que soit m supérieur à 0, sous-entendu aussi grand que je veux, même si je le prends 1 million, 1 milliard, etc., il y aura forcément un rang, un réel, a, à partir duquel si x est supérieur à a, f de x sera supérieur à cette hauteur, à cette barrière. Donc là dans l'exemple, j'ai tracé une fonction du type racine de x, peu importe, là on voit, j'ai fixé différents m, si m est là, à partir de ce a1 là, la fonction est toujours au-dessus. Si m est ici, c'est à partir de cette valeur là, de a2, que je serai toujours au-dessus de cette barrière, de cette hauteur. Pour m3, là j'ai a3, donc dès que x est supérieur à 3 c'est bon. On voit bien que ça va toujours marcher. Maintenant revenons à notre exemple, on prend f de x égale racine de x carré moindre. En fait, c'est pas si compliqué, une fois qu'on connaît cette définition là, c'est de dire, moi je me fixe un m quelconque, il faut que je montre l'existence de sort. Et ce a forcément va dépendre de m, on voit bien que dans mon exemple, a ici, c'est pas le même si je prends m là, ou si là, ou si là. Il faut se dire, le a que je cherche, il va dépendre de m. Du coup, c'est simplement de résoudre l'inéquation. f de x est supérieur à m, je remplace, ça fait racine de x carré moins 1 supérieur à m, je passe au carré, ça fait x carré supérieur à m, donc x carré supérieur à m plus 1. Là, comme je regarde en plus l'infini, je vais prendre la solution positive, mais n'oublions pas qu'il y a une solution négative dans l'autre sens, quand je passe à la racine, n'oublions pas. Donc ça, comme je le dis, si ça ne vous intéresse pas, parce que moi je regarde la limite en plus l'infini. Donc ça veut dire que x doit être supérieur à racine de m carré plus 1. Donc là, j'ai trouvé mon a, c'est ça en fait. C'est a égale racine de x carré de m plus 1. Donc si je, par implication dans l'autre sens, si je dis si x est supérieur à a avec ce a là, du coup je remonte, je remonte, je remonte, et je trouve que f de x est supérieur à m. C'est exactement ce que je voulais. Donc là, j'ai réutilisé la définition formelle de la limite pour montrer que la fonction en plus l'infini tendait vers plus l'infini. Donc ça, vraiment, il faut s'exercer avec... Vous avez la méthode pour vous entraîner pour faire exactement le même type de calcul. Ça, en fait, il faut s'entraîner avec différentes fonctions pour retrouver le a qui convient. Mais finalement, c'est juste une résolution d'équation. Voilà pour cette méthode pour revenir à la définition formelle de la limite.

Calcul de limite infinie avec la définition (trouver un A)

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