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Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Définitions

Dans ce cours, nous examinons la définition formelle de la limite en utilisant des epsilon. L'idée est de montrer que pour n'importe quel niveau de limite fixé, il existe un intervalle dans lequel la fonction sera inférieure à une certaine valeur M. Pour cela, nous utilisons l'exemple de la fonction 1/(x-1) et fixons différentes valeurs de M.

En utilisant une méthode similaire, nous résolvons l'inégalité f(x) < M et obtenons un encadrement de x qui nous permet de trouver la valeur d'epsilon appropriée. Ensuite, nous montrons que pour tout x appartenant à l'intervalle 1-epsilon à 1, la fonction f(x) est inférieure à M, ce qui confirme notre objectif. En utilisant les définitions et les valeurs d'epsilon, nous démontrons rigoureusement que la limite de 1/(x-1) lorsque x tend vers 1- est égale à moins l'infini.

Il est recommandé de pratiquer davantage d'exercices similaires pour mieux comprendre cette méthode. En résumé, nous partons de l'inégalité f(x) < M et trouvons l'epsilon approprié en déroulant les calculs pas à pas. C'est ainsi que nous démontrons la limite en utilisant des définitions et des epsilon.

Maintenant on va faire le calcul de la limite finie, donc c'est l'autre définition formelle de la limite, on a regardé en plus l'infini, maintenant on regarde en un réel fixé, avec la définition, avec les epsilon. Donc déjà, il faut bien comprendre comment on utilise les epsilon, c'est pour montrer que la fonction tend vers moins l'infini, c'est un peu le même principe. On se dit, peu importe la limite que je me fixe, une hauteur aussi basse que je veux, il y a forcément un moment, par valeur négative, où je vais être en dessous. En fait une valeur proche, quand je serai epsilon proche de 1, je vais finir en dessous. Donc l'idée c'est que j'aurai un intervalle du type 1-epsilon1, où la fonction dans tout cet intervalle sera inférieure à M. Là je vous ai fait quelques exemples pour illustrer, avec la fonction 1 sur x-1. Imaginons que je fixe M là, mon intervalle epsilon c'est tout cela. Dès que je suis compris dans cet intervalle là, dans tout cet intervalle, entre 1 et 1-epsilon, ma fonction sera en dessous de M1. Si je prends M2 ici, l'intervalle sera plus petit, mon intervalle epsilon2, mais dans cet intervalle là, la fonction sera en dessous. Pareil si je prends M3 là, on commence à se rapprocher, mais si je prends M3 ici, toute la partie là sera en dessous, donc j'aurai toujours un intervalle. C'est ça l'idée qu'on va essayer de montrer. La méthode est exactement la même, on part de l'inégalité avec f2x, c'est à dire que j'essaye de résoudre f2x-M, et du coup j'aboutis un encadrement de x qui va me faire trouver le épisylone qui convient. C'est parti, je prends un réel M négatif, je vais regarder la limite en 1-, je regarde que pour x-1, et je vais résoudre. F2x-M, je remplace, ça fait 1 sur x-1-M, n'oublions pas que tout ça est inférieur à 0, comme ça je peux prendre l'inverse. La fonction inverse est décroissante sur Rétoile+, donc attention quand on prend l'inverse, il faut toujours vérifier qu'on est bien soit sur Rétoile-, soit sur Rétoile+. Mais si je suis entre les deux, si je ne suis pas de part et d'autre de 0, je ne sais pas quoi, je ne peux pas conclure, il faut bien être sur le bon intervalle. Du coup ce que je veux c'est encadrer x, donc x doit être supérieur à 1-1 sur M, alors attention, 1 sur M est négatif, on avait dit que M est négatif, donc finalement j'ai bien l'encadrement voulu, de tout à l'heure j'ai x qui est inférieur à 1 et qui est supérieur à 1-1 sur M, donc là mon épisylone il est tout trouvé, c'est lui mon épisylone, c'est du coup épisylone niveau 1-1 sur M, parce que attention encore une fois M est négatif. Donc voilà, si je prends épisylone égale ça, dans tout l'intervalle 1-épisylone 1, et bien j'ai ma fonction f de x qui est en dessous de M, donc c'est exactement ce que je voulais. Donc là j'ai démontré rigoureusement avec le calcul de limites, en revenant avec les définitions et l'épisylone, que la limite quand x est envers 1-1, donc par valeur négative de 1 sur x-1, c'est moins l'infini. Donc ça c'est pareil, il faut s'exercer un peu, faites les autres exercices équivalents, parce que c'est pas facile, mais finalement quand on s'exerce petit à petit on y arrive. Donc je récapitule, il faut partir de l'inégalité f de x inférieure à M, et je trouve l'épisylone qui convient avec 1-1 sur x, en déroulant petit à petit. Voilà pour cette méthode.

Calcul de limite finie avec la définition (trouver un epsilon)

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