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Analyse Terminale

Définitions

Le cours porte sur le calcul de limites en mathématiques. L'exemple étudié est la limite de la fonction f(x) = e^(1/x) - x lorsque x tend vers l'infini. Pour résoudre ce problème, l'élève utilise la factorisation par x pour simplifier l'expression. Cependant, il se retrouve avec une forme indéterminée. Il décide donc d'employer une autre méthode, celle du taux d'accroissement. En faisant une substitution astucieuse, il réécrit l'expression comme e^(1/(1/x)) - 1. Il remarque que le terme 1/x tend vers 0, ce qui lui permet de conclure que la limite de la fonction est 1. L'élève souligne que ce type d'exercice nécessite une bonne connaissance des formules mathématiques et la capacité de les utiliser dans des situations inhabituelles.

Je vais faire un calcul de limites qui n'est pas simple, donc je vais prendre un de ceux-là. Petit a, limite assez difficile, je vais étudier x exponentiel 1 sur x, moins x. Ça tout de suite, le premier truc que j'ai envie de faire, en plus infini. Donc en plus infini, qu'est-ce qu'il se passe ? Déjà ça, ça tend vers 0. Donc tout ça, ça tend vers 1. On a envie de simplifier par x, pas simplifier, on a envie de factoriser par x. Donc je factorise par x, ça me fait e de 1 sur x, moins 1. Si je fais ça, qu'est-ce qu'il m'arrive ? Donc j'ai ça qui tend, quand x tend à plus infini, vers 0, donc tout ça qui tend vers 1. À part ranger mon histoire de factoriser par x, parce que ça, ça tend vers plus infini, et ça, ça tend vers 0, j'ai toujours une forme indéterminée. Donc il faut aller peut-être un peu plus loin avec ce machin-là. En fait, ça, c'est un petit peu, encore une fois, alors c'est un peu bizarre, mais on va reconnaître la méthode qu'on avait vue rapidement précédemment, c'est-à-dire on va reconnaître un taux d'accroissement. Je vais devoir écrire, c'est un peu astucieux, mais que x, c'est en fait 1 sur 1 sur x. Donc ça, c'est mon x, je dis donc que j'ai ça fois e de 1 sur x, moins 1. Quand je fais ça, je colorie la même couleur, x, c'est égal à 1 sur 1 sur x. En fait, j'ai e d'un truc, moins 1, sur un truc. Le truc en question, 1 sur x, tend vers 0. Donc j'ai e de petit machin qui tend vers 0, moins 1 sur le même machin qui tend vers 0. Ça, c'est une limite qu'on a déjà rencontrée aujourd'hui, et surtout une limite qu'on connaît. C'est une limite qu'on connaît depuis la première, donc il suffit de poser grand x. Donc ça, ça veut dire que la limite de ce truc-là, quand petit x tend vers plus l'infini, c'est 1, et donc la limite de la fonction, c'est 1. Elle était un peu bizarre, celle-là. C'est pour ça que quand je disais que c'était un exercice pas simple, on arrive dans des exercices beaucoup plus compliqués, parce qu'en fait, il faut commencer à repérer la moindre petite formule que vous n'avez jamais rencontrée encore. C'est-à-dire qu'il vous faut une connaissance, quand on arrive à des exercices type Mathieu, la moindre connaissance de formule que vous avez, il faudra être capable de l'utiliser, de l'appeler à vous, de la twister dans un sens bizarre, pour pouvoir répondre, conclure et avoir la solution à l'exemple. Voilà.

Encore un taux d'accroissement de exp

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