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Croissance comparée exp et ln
Ce cours porte sur les limites de fonctions et la croissance comparée. L'idée principale est que l'exponentiel domine toujours les puissances de x. Par exemple, même si on divise l'exponentiel E2x par x puissance n, la limite de cette expression tend toujours vers l'infini.
La démonstration de cette propriété est effectuée en utilisant le théorème de comparaison. On commence par prouver que E2x sur x tend vers l'infini en comparant cette expression à x. On utilise ensuite la dérivée de la fonction f(x) = E2x - x2 sur 2 pour montrer que f'(x) est toujours positive. On construit ensuite un tableau de variation complet et concluons que f(x) est positive ou nulle.
Dans la démonstration générale pour un entier n quelconque, on utilise le résultat précédent en appliquant la propriété des puissances à l'exponentiel. On effectue un changement de variable en posant grand x égal à petit x sur n et en divisant x par n pour écrire l'exponentiel en puissance n en un seul bloc. Finalement, on conclut que lorsque x tend vers l'infini, E de x sur x puissance n tend vers l'infini.
Enfin, on démontre que lorsque x tend vers moins l'infini, E de x sur x puissance n tend vers z
