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Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Théorèmes de Convergence

Ce cours traite principalement de limites et présente cinq exemples complexes d'indétermination. Dans le premier exemple, il est expliqué que lorsqu'un terme avec une racine est présent, il est nécessaire de penser à l'utilisation de la quantité conjuguée. En utilisant cette méthode, il est démontré que la limite d'une expression tend vers 1/2.

Dans le deuxième exemple, l'expression x^n+1 - a^n+1 / x^n - a^n est considérée lorsque x tend vers 1. Grâce à des relations de taux d'accroissement, il est montré que cette limite converge vers (n+1) * a^n/n.

Le troisième exemple introduit la fonction de partie entière et explique comment encadrer une expression. En utilisant cette méthode, il est démontré que la limite tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.

Le quatrième exemple présente une expression complexe comprenant de nombreuses racines. En utilisant la méthode de la quantité conjuguée et en décomposant l'expression en deux parties, il est démontré que la limite tend vers -1/(2 * racine de a).

Ces exemples illustrent différentes techniques pour évaluer les limites et sont destinés à ceux qui préparent des études supérieures en mathématiques.

Bonjour à tous, je vais corriger des exercices pas faciles sur les limites. Là, c'est niveau un peu terminal++ pour ceux qui veulent continuer les matchs l'année prochaine en prépa. Là, c'est 5 exemples vraiment plutôt complexes où il y a une forme d'indétermination qui est assez forte. On va les regarder un par un, c'est principalement destiné à ceux qui veulent préparer un peu l'année prochaine. Première limite, on a des racines un peu partout. Donc là, quand on voit des racines, il faut penser absolument quantité conjuguée parce qu'en fait, les racines, je ne peux pas faire grand chose avec. Là, regardons quand même, ça ne coûte rien. Ici, ce terme-là est envers plus infini, celui-là est envers moins infini, donc forcément, plus infini, moins infini, je ne sais pas ce que ça fait. C'est quoi l'intérêt de la quantité conjuguée ? Le vrai intérêt, c'est que ce moins qui est ici, qui me dérange, va se transformer en plus quand je vais faire a moins b fois a plus b. On le voit ici quand je fais ma quantité conjuguée. Ici, ça va être un plus et du coup, ça ne va pas être dérangeant parce que je vais avoir plus infini et plus infini. Allons-y, je fais a moins b fois a plus b. Évidemment, il faut que je le mette au dénominateur aussi pour que l'expression reste la même. Ça me fait du x plus racine de x moins x quand je mets les carrés, a carré moins b carré. Et au dénominateur, ça fait la même expression mais avec un plus ici. Là, ça se simplifie, ça me fait racine de x sur racine de x plus racine de x plus racine de x ici. Donc là, c'est plus infini sur plus infini. J'ai toujours une forme indéterminée. La petite astuce qu'il faut avoir, c'est de se dire je vais essayer de factoriser par le terme de plus haut degré. Là, ce n'est pas du tout une fonction polynomiale mais on va essayer de factoriser par racine de x pour essayer de simplifier les choses. Ce n'est pas évident. Ici, j'ai du racine de x, là j'ai du racine de x et ici, je vais forcer la factorisation. C'est là l'astuce qui n'est pas évidente. Je force la factorisation, je factorise par x ici. Ça fait x facteur de 1 plus racine de x sur x. Et ensuite, comme j'ai un produit de racine, je peux sortir indépendamment le racine de x qui se retrouve là. Et du coup, tout se simplifie. J'ai racine de x sur racine de x. Et là, j'ai un terme, c'est beaucoup plus simple. J'ai 1 sur... Ce terme-là, racine de x sur x, c'est 1 sur racine de x. Donc ça tend vers 0, pas de problème. 1 plus ce terme-là, ça tend vers 1. Racine de tout ça, ça tend toujours vers 1. Et 1 plus 1, ça tend vers 2. Donc finalement, ça tend vers 1 demi. Mon expression, ce n'était pas du tout évident à voir. Elle tend vers 1 demi. Très bien. C'était le premier exemple. Deuxième exemple. On a x puissance n plus 1, moins a puissance n plus 1 sur x puissance n, moins a puissance n quand x tend vers 1. Toujours regardez la limite parce que là, ici, x tend vers 1 et pas vers plus infini. Là, on voit bien, ça fait 0 sur 0 immédiatement. Donc c'est toujours indéterminé. La petite astuce, c'est de se dire ça me fait penser un peu à des taux d'accroissement. Le premier taux d'accroissement et la dérivée. Le premier taux d'accroissement que je peux exploiter, c'est x puissance n plus 1, moins a puissance n plus 1 sur x, moins a. Ce n'est pas tout à fait pareil, mais c'est déjà un bon début. Je l'identifie sous la forme f de x, moins f de a sur x, moins a. En posant f égale x puissance n plus 1. C'est parfait. Je reconnais la définition de la dérivée. Quand x tend vers a, ça tend vers f prime de a. F est parfaitement dérivable, il n'y a pas de problème sur R. Donc ça tend vers n plus 1, fois a puissance n. De la même manière, je vais poser g de x égale x puissance n. Et ce x puissance n, moins a puissance n sur x, moins a, c'est pareil, c'est mon taux d'accroissement que je reconnais. Ça tend vers g prime de a, c'est-à-dire n fois a puissance n, moins 1. Et là, l'astuce qui n'est pas facile, c'est de décomposer mon expression comme un quotient de taux d'accroissement. Le premier, ça veut dire que je fais apparaître artificiellement x, moins a, en haut et en bas. Ça tend vers f prime de a, ce qu'on a dit tout à l'heure. Et ça, ça tend vers 1 sur g prime de a, parce que c'est l'inverse. Et quand je fais par produit sur les limites, je fais mon produit. Ça tend vers n plus 1, fois a puissance n, sur n, fois a puissance n, moins 1. Ça se simplifie, et ça me fait n plus 1 sur n, fois a. Ça, pareil, ça ne s'inventait pas du tout. Il fallait bien poser ce truc-là pour qu'on puisse aboutir au résultat. Troisième limite, avec la partie entière. La partie entière, ce n'est pas très compliqué. Il faut bien avoir en tête qu'on agit par encadrement. Il faut l'encadrer. Déjà, à quoi ça sert, la partie entière ? À quoi ça ressemble ? C'est ça, c'est la fonction d'escalier. Vous avez déjà dû voir plusieurs fois. C'est une troncature. Ce n'est pas un arrondi, c'est une troncature. Quand j'ai 2,58, ça sera 2, 2. La partie entière de x sera 2. On prend le chiffre avant la virgule. L'encadrement dans lequel on part, c'est la partie entière x, y compris entre sa partie entière et sa partie entière plus 1. Par exemple, dans mon exemple, si je fais 2,58, c'est plus grand que 2, et c'est plus petit que 3. Attention, l'inégalité large est ici, parce que 2,00, par exemple, sa partie entière, c'est 2 aussi. Par contre, là, on a une inégalité stricte. En l'occurrence ici, ça ne changera rien, mais il ne faut pas se tromper dans l'ordre. Moi, ce que je veux, c'est encadrer partie entière, ce n'est pas x. Je pars de ce premier encadrement. Ça, ça ne me permet rien de toucher. J'exploite celui de droite pour isoler E2x. Du coup, j'ai E2x qui est plus grand que x moins 1, si je fais passer le moins 1 de l'autre côté. J'aboutis à ma partie entière qui est bien encadrée. Je multiplie par x pour avoir l'encadrement de x2x. Et là, tout simplement, je vois que c'est plus grand que x moins 1 fois x, deux produits de fonction qui tendent vers plus l'infini en plus l'infini. Donc, par théorème de comparaison, mon expression est plus grande qu'une expression qui tend vers plus l'infini, donc elle-même, elle tend vers plus l'infini. Là, ce n'est pas très dur, une fois qu'on a bien encadré ma partie entière. Ensuite, celle d'après, c'était la D avec pas mal de racines. Là, on a la dose de racines. Donc, ça va être un peu comme tout à l'heure. Là, ce qu'il va falloir utiliser, quand même, c'est encore une fois la quantité conjuguée. C'est cette expression-là qu'on cherche. Là, on voit qu'il y a... Déjà, regardons quand x tend vers 1, qu'est-ce qu'il se passe ? Ça, ça tend vers 0. Ça, ça tend vers 0. Ça, ça tend vers 0. Tout tend vers 0, on a bien une forme indéterminée. Donc, ce qu'il faut... On va décomposer en deux morceaux. Là, on a une fraction. Là, on a bien envie de dire que c'est ce terme-là, et ensuite, ce terme-là. On va essayer de décomposer chacun des deux. Donc, le premier... J'ai perdu le fil. Donc, le premier, je m'en occupe, celui-ci. Ça fait racine de x moins racine de a sur racine de... x moins a fois racine de x plus a, ici. J'essaie de décomposer. Je vois le x² moins 1². J'ai bien envie de dire que c'est x plus a fois x moins a, en utilisant l'identité remarquable, a² moins b². Ça, ça me fait penser vraiment à un taux d'accroissement, ce truc-là. Celui de droite, ce morceau-là, je vais pouvoir le simplifier, du coup. Il est x moins a, ça annule, et il me reste 1 sur racine de x plus a. Donc, celui-là, je vais l'appeler b, ce terme-là. Lui, il tend vers 1 sur racine de 2a. L'autre, lui, il tend aussi vers 1 sur racine de 2a. Et là, j'ai mon taux d'accroissement. Je vais m'occuper de ça, mon taux d'accroissement. Donc, là, j'aimerais faire apparaître mon taux d'accroissement, c'est quoi ? C'est racine de x moins racine de a sur x moins a, et pas racine de x moins a. C'est pas grave, je vais faire une bête décomposition. Je le fais apparaître, mon x moins a, et j'annule ici. Et donc, là, j'ai mon taux d'accroissement, écrit comme ça, et là, c'est simplifié, ça fait racine de x moins a. Donc ça, ça tend vers 0, quand x tend vers a, et ça, ça tend vers la dérivée, du coup, de ma fonction, f prime de a. J'ai pas posé... Et avec f, il y a la fonction racine, donc ça fait 1 sur 2 racine de a. Donc finalement, ça fait 0 fois une constante, donc finalement, par produit, ça tend vers 0, ce truc-là. Donc, mon grand a, il tend vers 0. Mon grand b, comme je l'ai dit tout à l'heure, il tend vers 1 sur racine de 2a. Alors, je sais pas pourquoi j'ai mis 0, c'est pas du tout 0. Ici, c'est bien 1 sur racine de 2a. 1 sur racine de 2a. Voilà, donc j'ai mon terme b. Mon terme b, lui, c'était... Oui, c'est ça, c'est bien ça, ça tend vers 1 sur racine de 2a. Et c'est a moins b, n'oublions pas, ici, il y avait 1 moins... Donc là, finalement, toute mon expression a moins b, ça tend vers moins 1 sur racine de 2a. Donc finalement, il y avait beaucoup de racines, il fallait séparer en deux les deux expressions, et on voit que ça tend vers moins 1 sur 2 racines de a.

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