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Analyse Terminale

Théorèmes de Convergence

Résumé : Ce cours traite de l'étude d'une fonction à travers une série de questions. Le professeur rappelle certains réflexes importants pour réussir l'exercice, tels que factoriser, comprendre les limites en plus et moins l'infini, et effectuer des réécritures pour simplifier l'expression. Il souligne également l'utilité de repérer rapidement les asymptotes horizontales et verticales, ainsi que la position relative de la fonction par rapport à ces asymptotes. L'écriture utilisée dans l'exercice simplifie grandement la résolution et permet d'obtenir des résultats rapidement. L'ensemble de l'exercice souligne l'importance d'avoir des intuitions et des connaissances solides en termes de limites et d'asymptotes pour résoudre efficacement ce type de problème.

Première exo, j'ai pris une fonction assez classique, étude de fonctions, étude d'asymptote et surtout étude de position relative. Donc c'est pour ça que j'ai voulu le prendre, c'est pour la question 2. Pour moi c'est l'occasion de faire deux choses. Un, rappeler des réflexes qu'il faut avoir absolument pour dominer l'exercice. Notamment dès qu'on voit l'apparition de la petite formule, savoir tout de suite ce qu'il faut faire dans votre tête pour vous mettre en confiance. Et ensuite oui, la question 2 est assez importante. Donc première chose, question 0 si vous voulez, les petits réflexes. Quand je vois f2x écrit comme ça, tout ce que je fais tout de suite c'est factoriser. Donc je peux factoriser en bas par 2 fois x plus 4, donc je ne me gêne pas. Limite en plus moins l'infini, c'est quelque chose qu'on peut faire quand on est dans le supérieur, qu'on ne peut pas encore faire dans le terminal, mais vous pouvez le faire dans votre tête pour vous mettre à l'aise. Ce que vous pouvez faire c'est, en gros, considérer que en plus et moins l'infini, x prend des valeurs énormissimes, qui vont jusqu'à l'infini, et une constante à côté ça ne pèse pas grand chose. Donc en gros le truc en haut, quand on est proche de l'infini, moins 2, ça ne vaut rien. De même plus 8 ça ne vaut rien comparé à 2x. Donc tout de suite quand x prend des très grosses valeurs, que ce soit négative ou positive, on se rend compte que ça c'est à peu près égal à x sur 2x. Et donc ça, ça fait 1,5. Et donc je trouve la limite de manière très rapide de cette manière-là. Donc ça c'est la deuxième chose que je ferai. Première chose, factorisation, parce qu'on ne sait jamais, il faut juste la faire. Voilà, il faut faire la factorisation, des fois ça sert, des fois ça ne sert pas. Deuxième chose, se rendre compte que les limites en plus et moins l'infini ça va être 1,5, tout de suite, après on va le démontrer proprement. Troisième chose, réécriture. Ce que j'appelle réécriture, là je l'ai mis entre parenthèses parce que c'est du bonus, mais c'est un petit travail qui est assez bon de faire sur ce qu'on appelle les fonctions inverses. Une fonction ax plus b sur cx plus d, c'est une fonction homographique qui peut se rapporter à une fonction inverse. L'idée c'est qu'à chaque fois qu'on a un truc comme ça, donc là j'ai factorisé donc je vais mettre le 1,5 devant, je peux réécrire la fonction avec un polynôme de degré 1 au numérateur et un polynôme de degré 1 au dénominateur, je peux toujours les réécrire d'une manière un peu plus pratique. L'idée c'est de faire apparaître en haut ce qui est écrit en bas. Je vais forcer l'écriture en haut de x plus 4. Si je fais ça je suis obligé de compenser par moins 4, donc c'est une petite astuce, une petite technique, parce que je n'ai pas le droit d'ajouter plus 4 comme ça sans raison. Je dois tout diviser par x plus 4. Vous voyez ce que ça fait, je mets toujours le 1,5. Ça fait x plus 4, je vais séparer la fraction en deux. Ça fait x plus 4 sur x plus 4, donc 1, moins 4, moins 2, moins 6 sur x plus 4. Alors ça c'est très pratique, si je l'écris bien ça fait 1,5 moins... Cette écriture est très pratique parce que quand vous faites ça, vous avez tout de suite... Alors après il y avait l'astuce que j'ai dit juste avant, on peut essayer de se dire x sur 2x ça fera 1,5 en plus infini, très bien. Mais là tout de suite quand vous avez cette écriture, vous avez un peu joué avec l'écriture, vous remarquez que partir de là à ici, ça c'est très facile, ça c'est très simple. On le fait souvent dans les exos, des fois on vous fait retrouver une expression, mais partir de cette expression pour aller vers cette forme là c'est moins facile, on le fait moins souvent au lycée. C'est une des choses qu'il faut connaître, je pense qu'il peut vous aider. Ça va faire apparaître tout de suite tous les éléments clés du comportement asymptotique. Donc par exemple quand on voit ça, question 1. Ce truc là, ça devient zéro très vite, donc ce qui reste c'est l'endemi. Cette écriture permet de répondre très vite. Ça ça donne donc une asymptote, donc c'est un demi là, asymptote horizontal. C'est une limite finie, en plus et moins infinie. Ça c'est simple, c'est juste l'idée qu'on a un problème de... C'est juste l'idée qu'on a un problème de définition, on a un ensemble de définition qui est une interdiction. X ne peut pas vouloir moins 4, et donc x égale à moins 4 est une asymptote verticale, de par l'ensemble de définition de la fonction. Ça c'est intéressant parce que tout de suite on a trouvé la question 1. Donc les asymptotes, j'en ai trouvé deux, une verticale et une horizontale, donc c'est les deux qu'il faut tester tout de suite, dès que vous avez l'occasion. C'est bien, c'est pratique. Cette écriture tue l'exercice, honnêtement. Vous pouvez le faire autrement, je ne vais pas le faire ici, mais il y a la méthode classique qu'on a déjà vu plusieurs fois déjà sur la chaîne. La méthode classique c'est ensuite de trouver le fait que ça, ce truc là, tend vers 1 en factorisant par x en haut et en bas. Ça marche très bien. Comme ça c'est assez élégant et c'est assez pratique. Quand vous avez cette écriture, si vous prenez l'habitude de faire une écriture un peu décomposée comme ça, en faisant apparaître ce qu'il y a en bas en haut, ça vous sauve pas mal d'exemples. Ça vous les fait potorcher vachement plus vite. Question 2, on vous dit quelle est la position relative de CF avec l'asymptote horizontale ? L'asymptote horizontale c'est y égale 1,5. Si on veut savoir la position relative de deux fonctions, il faut faire la différence de leur expression. Ici c'est assez simple. On étudie f de x moins l'expression de l'asymptote. Ici c'est assez simple, 1,5. Mais moi, vu que j'ai une écriture extrêmement pratique, ça me permet aussi, cette écriture a fait sortir l'expression de l'asymptote de l'expression originelle, ça me permet tout de suite d'avoir une réponse très simple. J'ai la différence de 2 qui vaut moins 3 sur x plus 4. Moins 3 sur x plus 4, c'est négatif quand x est très très positif, quand x tend vers plus infini. Donc côté positif, la fonction f est en dessous de la droite, 1,5. Par contre c'est positif, si x est négatif. Petite conclusion pour vous à la fin de la page, c'est bien savoir intuiter. Le mot n'existe pas mais vous comprenez l'idée. Bien savoir, quand vous voyez une expression, trouver assez vite quels vont être les asymptotes. Repérer très vite la limite 1,5 en plus infini pour avoir l'asymptote horizontale, et le point où la fonction n'est pas définie pour avoir l'asymptote verticale.

Asymptote et position relative

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