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Analyse Terminale

Théorèmes de Convergence

Lors de ce cours, il est question d'asymptotes obliques en mathématiques. L'enseignant mentionne qu'il a étudié ce concept en première, bien qu'il ne soit pas inclus dans le programme officiel. Il recommande cependant de connaître ce sujet car cela pourrait être abordé dans les exercices. L'enseignant fait une démonstration d'un exercice, montrant comment simplifier une fraction avec une asymptote oblique. Il explique également comment définir une fraction asymptote oblique et comment l'étudier en termes de variations et de limites. Il termine en soulignant l'importance de comprendre l'utilisation des asymptotes obliques et en expliquant comment analyser la position relative des expressions mathématiques.

Asymptote oblique, ça a été au programme, alors je ne sais plus trop quand, en tout cas moi je les ai vus en première à l'époque. Donc il y a des trucs qui ont bougé, en première on ne faisait pas l'exponential, mais on faisait l'asymptote oblique, on les faisait en première, alors peut-être que c'était ma prof qui faisait du zèle. Là c'est hors programme, mais avec tendance à quand même bien les utiliser, c'est-à-dire qu'ils vont vous mettre un exo, ils vont vous expliquer ce qu'est un asymptote. Donc là moi j'ai fait l'exo à ma sauce, mais quand vous voyez l'exercice ils vous expliquent. Et qu'on définit comme asymptote oblique, toute droite de la forme AX plus B, à laquelle on va se coller en plus ou moins infinie. Voilà, ils vous l'expliquent. Et après ils vous feront faire le boulot dans tous les cas, donc autant l'avoir fait. Autant l'avoir fait parce que vous avez une grande chance que ça tombe au bec, et si vous n'avez pas la chance d'avoir un prof qui vous prépare à ça, c'est important de l'avoir fait, et ça devient un exercice un peu difficile de terminale très classique. Donc, dans le délire des réflexes. Je vais faire un peu comme d'habitude des réflexes. L'exercice serait très différent si j'avais 2X plus, je sais pas, 1 ici. Le fait que j'ai 2X uniquement me fait genre sauter de joie. C'est ultra simple de simplifier ça en différentes fractions. Avoir l'idée de séparer les trois fractions, ça casse pas trois pattes un canard honnêtement, c'est pas très compliqué, et ça vous simplifie la vie à fond. Je pense qu'il ne faut vraiment pas passer à côté. Là j'y vais boulot, donc ça fait... On regarde les trois éléments, X2 sur 2X, ça fait X sur 2. Moins 2X sur 2X, ça fait moins 1, et le 2 là il se simplifie, donc plus 1 sur X. Là tout de suite ma fonction a une tête beaucoup plus sympa. Je vois ici X sur 2 moins 1, qui est la date importante. Je vois 1 sur X qui est facile à gérer, ça tend vers 0 en plus infini ce truc là. Déjà juste remarquer ça, ça fait l'exercice. On va quand même faire l'exo comme ils nous demandent. Donc question 1, DF. On veut pouvoir définir la fraction. Deux réflexes, donc il y a le premier réflexe de séparer là. Un autre réflexe qui peut venir dans votre tête, bon réflexe mais des fois inutile, c'est de repérer ça, X2 moins 2X, tout de suite moi ça peut me rappeler un carré parfait. Ça me rappelle X2 moins 2X plus 1, qu'on voit quand même partout. Donc tout de suite je pourrais dire tiens je peux écrire ça comme ça. Vous voyez c'est genre un petit machin qui vient, qui pop comme ça dans la tête. Ça va peut-être pas servir mais on sait jamais, peut-être un exo ça servira un jour. Donc là je l'ai, ok super, bon ça ne servait que dalle. Tout de suite je sais que je peux écrire ce truc là, on pourrait dire on pourrait faire un delta etc. Mais pas besoin de faire un delta, une analyse complète, je reconnais ça, pouf j'ai une forme canonique. Et je me rends compte que c'est un polynôme de degré 2 et qu'il n'y a pas de solution parce que là il y a un plus. Donc c'est forcément un delta négatif, je le vois ici. Mais ça peut être utile d'avoir ce genre de petit réflexe. Alors petit 2, étude des variations. Variation et limite. Moi j'ai ma fonction qui est ici. Je sais que, ou ici si vous voulez, dans tous les cas je sais que f est dérivable. Le problème de dérivabilité de toute façon, quand vous avez une fonction, il y en a deux au programme en terminale, au lycée en général. C'est la racine de x au point x égale 0. Et la fonction valeur absolue au point 0 aussi. La fonction valeur absolue parce qu'elle a un point où les deux demi-tangentes de chaque côté n'ont pas la même pente, elles partent chacune d'un côté. Donc on n'a pas une limite unique du taux d'accroissement, on ne sait pas quoi choisir, il y en a deux. Et la racine parce que quand on s'approche de 0, on a une pente, une pente de la tangente qui est infinie, qui monte de manière verticale. Et ça, ça ne rentre pas dans la définition de ce qu'on appelle dérivable. Donc tant qu'il n'y a pas de racine, tant qu'il n'y a pas de valeur absolue, en gros la fonction est dérivable. Avec les fonctions rencontrées en terminale en tout cas. Très bien, variation une limite, on va regarder. Est-ce qu'elle est paire ou impaire ? Donc, pas de parité. J'ai quand même checké en 2-2, on ne sait jamais. Très bien, calculons f'. Alors là vous avez deux écoles. Soit celui qui est là et qui bourrine, donc c'est u'v moins v'u sur v² avec un u' qui n'est pas spécialement ragoûtant. Soit vous avez pensé à faire ça. Alors là la dérivée est trivialissime, ça c'est 1 demi, et ça elle est connue, c'est moins 1 sur x². Ça c'est une écriture un peu... peut-être pas acceptée par le prof, mais c'est pour vous montrer quelle est la formule que je choisis. Ça fait 1 demi moins 1 sur x². On a f'2x, donc il faut toujours fixer un choix. Je dis que c'est positif quand, je vois bien ce que ça donne. 1 demi est plus grand que 1 sur x². En gros on fixe un des deux, et si on trouve des conditions pour la positivité de f, on aura aussi les conditions pour quand f' est négatif. Tout bêtement. Parce que ça va se compléter. Donc si et seulement si, je multiplie par x² de chaque côté. C'est-à-dire que en 0, j'ai une double barre. La valeur est interdite pour f' et pour f. On a fait pour f' parce que ça peut aussi être une division par 0. Et ensuite je dois placer les points particuliers. Donc moi, racine de 2, racine de 2. Et au bord j'ai bien sûr, en infini, plus 5. On a dit que j'avais un f' positif dès que j'étais en dehors des racines. C'est-à-dire, ici, ici, c'est donc négatif entre les racines. Et j'ai une fonction qui finit par faire monter, descendre, descendre, monter. Alors on n'a pas encore calculé les limites, mais ça va sûrement être l'étape d'après. Étude de f, variation et limites, très bien. Voilà l'étude de f. Je vais calculer les limites maintenant pour compléter le tableau. Alors notamment, les limites, elles sont au bord de l'intervalle. Donc c'est en moins l'infini, en plus l'infini, en 0 moins, en 0 plus. On commence, en plus l'infini. Alors, f de x égale, encore une fois, je n'utilise que cette écriture-là. x sur 2 moins 1 plus 1 sur x. On sait que 1 sur x tend vers 0 quand x tend vers plus l'infini. Vous pourrez rédiger mieux si vous voulez, mais franchement, ça prend une demi-seconde. On a donc limite quand x tend vers plus l'infini de f de x, égale, c'est la limite de x sur 2 moins 1, fonction affine, c'est donc plus l'infini. En moins l'infini, c'est un peu la même chose. J'utilise la même expression, limite de f de x quand x tend vers moins l'infini. C'est la limite de ça, vu que ça s'attend aussi vers 0 quand x tend vers plus l'infini. Quand x tend vers moins l'infini. Donc ça me mène à ça, dire que c'est moins l'infini. Ok, très bien. En 0 plus. C'est-à-dire 0 en arrivant par la droite. Il faut bien le distinguer, parce qu'on voit bien sur le tableau que quand on arrive en 0 par la droite, apparemment on est très haut. Quand on arrive en 0 par la gauche, on a l'air de descendre très bas. Ce n'est pas la même, il faut bien les séparer. En 0 plus, je peux faire la somme de ces deux-là, et dire limite de f de x quand x tend vers 0 plus. Encore une fois, f de x c'est ce truc-là, donc ce machin qui tend vers moins 1, plus ce machin qui tend vers plus l'infini. Bon ben ça fait plus l'infini. On a l'occasion de voir si on s'est trompé, notamment sur le signe, dans le tableau. Est-ce que dans le tableau j'ai une flèche qui peut partir de plus l'infini ? Oui. J'aurais trouvé moins l'infini ici, j'aurais été embêté, parce que dire que je pars de moins l'infini et que je descends, pas possible. Je vais compléter mon tableau au fur et à mesure. Là j'ai donc plus l'infini. Qu'est-ce que je viens de dire sur les autres ? En plus l'infini c'est plus l'infini. Très bien, ça a l'air de marcher. Et en moins l'infini c'est moins l'infini. Parfait, ça a aussi l'air de marcher. Ouf, j'aurais trouvé des choses non cohérentes, ça aurait été assez embêtant. Il ne me reste plus qu'en zéro moins, ou alors déjà on peut avoir une première intuition, zéro moins si ça chute, comme ça j'espère trouver un moins l'infini en haut. Je peux le voir grâce au tableau et ça me permet en gros de repérer des erreurs. Le but de 100 mètres c'est toujours pareil, je le répète mais, c'est pas d'être brillant ordinateur qui ne fait jamais d'erreurs, c'est d'être capable d'avoir plein de mécanismes de survie, de détection des erreurs ou des bêtises potentiellement que vous avez fait. Ça, ça n'en est rien de plus. Utilisez le tableau pour un peu savoir à quoi s'attendre. En zéro moins, x sur 2 moins 1, c'est la même chose qu'au-dessus, il n'y a pas trop de surprises. Moins 1, 1 sur x en zéro moins. Je vous rappelle, ça ressemble à ça, 1 sur x, hop, 1 sur x. Je mal fais, hop, ça t'envers, moins l'infini. Parfait. 1 sur x, quand x t'envers zéro moins, t'envers moins l'infini. Et donc, limite de f de x, quand x t'envers zéro moins, égale, moins 1, moins l'infini, moins l'infini. Parfait. Ce qu'on s'attendait, mais là, moi, c'est démontré proprement. On a déjà vu qu'en zéro, ça va s'écraser et revenir, donc on sait qu'il y a une asymptote verticale, x égale zéro. Ça déjà, c'est sûr. Question 3 d'asymptote. Oui, on va regarder, asymptote. Pour l'instant, on peut dire ça. Question 3, ça serait ça. Apparemment, asymptote verticale. Asymptote horizontale, ben non, j'ai pas de limite finie. Je vois que ma limite en plus l'infini, c'est plus l'infini, donc j'ai pas de limite finie, je tombe pas vers genre 3 ici. J'ai pas un 4, un 3, enfin, j'ai pas de choses comme ça. Par contre, là, j'ai bien une explosion qui est signe d'asymptote verticale. Grand 2. Dans la question, on vous dit déterminer les limites. Donc on pose cette équation-là. Nous, on sait déjà ce que c'est parce qu'on a eu la chance d'avoir une belle écriture. On vous dit déterminer les limites de ça et les limites de ça. On va regarder, on vous dit ensuite de faire étude de la position relative. Donc, position relative entre deux choses, c'est l'analyse du signe de la différence des deux expressions. Donc f2x-c'est droite. On va trouver la limite. On sait déjà, la limite c'est 0. Je vous dis, il y a même pas de calcul à faire avec la différence des deux, c'est 1 sur x. Je vais l'écrire, mais voilà. La position relative, en plus et moins l'infini, ça va juste être le signe de ce truc-là. En question de le signe, en plus l'infini. f2x-x-1.5 pour x positif, si vous voulez, égale 1 sur x positif, cf, au-dessus. C'est assez simple. Ça tombe tout seul, honnêtement, dès que vous avez la bonne expression. Il y aura plusieurs choix. Dès fois, il faudra faire un peu plus de calcul. Ça dépend un peu de comment l'exercice est vicieux avec vous. Des fois, il y aura plus de calcul à faire. Des fois, on vous fera remarquer l'écriture un peu plus activement. Là, honnêtement, elle est assez facile. Des fois, on vous fera une transformation quelconque pour vous aider.

Asymptote oblique

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