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Exp : indéterminée en -∞
Ce cours traite d'un exercice classique qui permet de rappeler une limite importante en mathématiques. L'exercice consiste à étudier la fonction F(x) = x * e^(2x) / e. En utilisant les puissances, on peut simplifier l'expression et obtenir -x / e^(2x).
En étudiant la limite de cette fonction lorsque x tend vers moins l'infini, on peut déterminer que F(x) tend vers 0. De plus, on admet que F est dérivable sur R et on calcule sa dérivée, qui est x + 1 * e^(2x) - 1.
En utilisant un tableau de variations, on peut montrer que la dérivée de F est positive ou nulle lorsque x est inférieur à -1, et négative lorsque x est supérieur à -1. Ceci permet de conclure que F(x) est décroissante jusqu'à x = -1, puis croissante.
Enfin, on détermine les limites de F en moins l'infini et en plus l'infini. On trouve que la limite de F en moins l'infini est -1, tandis que la limite de F en plus l'infini est 1. On en déduit que F admet une asymptote horizontale d'équation y = 1.
En résumé, cet exercice permet de rappeler la limite classique de la fonction e^(2x) / x, de démontrer la dérivabilité de F et d'étudier ses variations. On conclut en trouvant les limites de F et en déterminant son asymptote horizontale.
