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Lien avec les Primitives

Dans cette vidéo, l'intervenant introduit un nouveau sous-chapitre sur les intégrales et leur lien avec les primitives. Il mentionne que ce sous-chapitre est plus théorique et demande de la concentration.

L'intervenant explique que les méthodes de calcul des intégrales vues précédemment permettent d'obtenir des approximations très précises en ajoutant un grand nombre de rectangles. Cependant, il souligne qu'il est également intéressant de trouver des résultats exacts. Jusqu'à présent, les seules intégrales exactes que l'on peut calculer sont celles des fonctions affines et constantes.

Dans ce sous-chapitre, l'intervenant affirme qu'il existe un lien exact entre le calcul des intégrales et les primitives. Cela permettra de calculer des intégrales de manière exacte, sans approximation. Il précise que ce lien fonctionne dans les deux sens : on pourra utiliser les primitives pour calculer les intégrales de manière exacte, mais aussi approcher des primitives qui ne sont pas calculables.

Ensuite, l'intervenant évoque le besoin, notamment en statistique et probabilité, de calculer des primitives de fonctions telles que l'exponentielle moins x². Il explique qu'il n'existe pas de primitive de cette fonction avec des fonctions usuelles telles que les logarithmes, les sinus ou les exponentielles. On est donc contraints de faire des approximations numériques, notamment par le calcul d'intégrales.

Le reste du chapitre présente quelques propriétés générales sur les intégrales et propose des méthodes de calcul. Parmi les propriétés, on retrouve la relation de Schall, la linéarité, la positivité, la croissance et des inégalités. Les méthodes de calcul incluent l'utilisation de primitives, la linéarité, la relation de Schall, le calcul d'encadrement et l'étude des variations d'une fonction définie par une intégrale.

En conclusion, ce sous-chapitre se concentre sur le lien entre les intégrales et les primitives. Il présente le théorème fondamental, la condition suffisante d'existence d'une primitive, ainsi que des propriétés générales et des méthodes de calcul. L'intervenant encourage les spectateurs à poser des questions dans la FAQ et les salue pour la prochaine vidéo.

Bienvenue dans cette vidéo d'introduction sur le nouveau sous-chapitre des intégrales, le lien avec les primitives. Alors, ça va être un sous-chapitre pas facile, honnêtement c'est le plus théorique de tous, il y a des choses très intéressantes dedans, mais il va demander un peu de concentration. Je me souviens que quand j'étais à votre place, le lien primitive R sous la courbe, je l'ai accepté, mais je l'ai vraiment compris. J'ai pris le temps de le comprendre, de le dessiner uniquement quand j'étais en terminale. Pardon, pas du tout en terminale, quand j'étais en deuxième année de prépa. Donc ça a mis pas mal de temps pour venir dans ma tête, je vais essayer de vous l'expliquer au mieux. Donc pour commencer, ce qu'on va voir, c'est que les méthodes de calcul d'R qu'on a déjà vu dans les sous-chapitres précédents, c'est bien, on peut faire des approximations aussi fines que l'on veut en ajoutant un nombre de rectangles, et avec des machines assez puissantes, genre des ordi, etc., on peut faire des approximations vraiment très proches. Mais malheureusement, on aime bien quand même trouver des choses exactes en fait. Et apparemment, vu les méthodes qu'on a pour l'instant, on ne peut rien trouver d'exact à part les R des fonctions affines et des fonctions constantes. On va voir dans ce chapitre qu'en fait, on aura un lien exact entre le calcul d'R et les primitives. Ça va nous permettre de calculer des R vraiment de manière exacte, sans approximation du tout. Ce qui va être intéressant, c'est que ça va aller dans les deux sens ce résultat. Ce lien entre primitives et R sous une courbe, ça va aller dans les deux sens. Des fois, on pourra calculer parfaitement les R sous une courbe en utilisant leurs primitives, donc ça, ça va être super. Mais on va aussi pouvoir, vu que c'était un peu cette relation entre les deux, on va aussi pouvoir s'attaquer à des primitives, enfin je dis on, en tout cas les scientifiques, les physiciens, les statisticiens, en proba, etc. On va pouvoir avoir accès à des choses qui ne sont pas calculables. Par exemple, en statistique, en probabilité, on a vachement besoin de la fonction, en gros, je résume, exponentielle moins x². C'est la fonction qui est à la source de la courbe en cloche. Cette courbe en cloche qu'on voit souvent en stat, dans les distributions de différents phénomènes, etc. On a besoin de calculer la primitive de cette fonction pour beaucoup, beaucoup de calculs. Malheureusement, il n'existe pas de primitive qui s'écrit avec des fonctions usuelles du genre des logs, des sinus, des exponentielles, etc. Donc on est obligé de faire une approximation numérique, et notamment par calcul d'R. On va aussi avoir, dans la suite du chapitre, quelques propriétés, pas mal de propriétés sur les intégrales en général. Et ça va être des propriétés, par exemple, sur quand une fonction est plus petite qu'une autre, est-ce que l'intégrale est aussi rangée de la même manière, etc. Ces propriétés sont intéressantes pour les physiciens et les matheux. Vu qu'il y a plein de fonctions dont on ne peut pas trouver les primitives alors qu'on aimerait bien, à la limite, on pourra peut-être trouver des choses à dire dessus, grâce à des propriétés de comparaison, etc. Comme bilan de chapitre, deux points principaux sur les points de courbe, le lien avec les primitives, on va voir ce qu'on appelle le théorème fondamental, qui définit l'existence d'une primitive avec une certaine formule pour la primitive. On aura la condition suffisante d'existence d'une primitive, la généralisation de cette définition, et ensuite quelques propriétés générales, notamment la relation de Schall, la linéarité, la positivité et la croissance, ainsi que des inégalités. Pour les méthodes, on aura des méthodes qui vont suivre un peu ces points de courbe comme d'habitude. Les méthodes, ça va être calculer une intégrale avec l'aide d'une primitive, on va utiliser la linéarité, la relation de Schall, on va encadrer une intégrale, et enfin étudier les variations d'une fonction définie par une intégrale. Voilà, c'est un peu le bilan de ce sous-chapitre. Dites-moi si vous avez des interrogations, des questions dans la FAQ toujours, et sinon je vous dis à la prochaine vidéo !

Introduction

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