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Lien avec les Primitives

Dans cette vidéo, nous allons aborder la démonstration d'une propriété importante dans le domaine des intégrales. Cette propriété diffère du théorème fondamental que nous avons vu précédemment. Il est essentiel de comprendre la différence entre ces deux concepts.

La propriété dont il est question ici concerne le calcul d'une intégrale à partir d'une primitive. Nous pouvons utiliser n'importe quelle primitive de la fonction continue et positive sur l'intervalle [a, b]. Il n'est pas nécessaire de spécifier la forme de cette primitive.

L'aire entre a et b sous la courbe de la fonction f est égale à la différence entre la valeur de la primitive en b et la valeur de la primitive en a. En notation mathématique, cela peut s'écrire comme suit : l'intégrale de f entre a et b est égale à F(b) - F(a), où F est une primitive quelconque de f.

Cette définition peut également être généralisée pour des fonctions de tout signe. Dans ce cas, l'intégrale de f entre a et b est toujours égale à F(b) - F(a), peu importe le signe de f.

Nous allons maintenant procéder à la démonstration de cette propriété. Nous allons examiner deux cas différents.

Dans le premier cas, supposons que F soit exactement la fonction dont nous parlons dans le théorème fondamental. Dans ce cas, l'intégrale de f entre a et b est égale à F(b) - F(a).

Dans le deuxième cas, où F est une primitive quelconque, nous pouvons l'écrire comme G(x) + K, où G est la fonction du théorème fondamental. Dans ce cas, l'intégrale de f entre a et b reste égale à G(b) - G(a).

En utilisant le fait que G(a) est égal à zéro, nous pouvons réécrire G(b) - G(a) comme G(b). Ainsi, l'intégrale de f entre a et b est égale à G(b), ce qui était la définition du théorème fondamental. Par conséquent, la propriété est démontrée.

Il est important de souligner que pour prouver cette propriété, nous avons utilisé le fait que nous connaissions déjà une primitive de la fonction. Si nous ne l'avions pas, nous aurions utilisé le théorème fondamental pour obtenir une primitive et suivre la même méthode de démonstration.

J'espère que cette démonstration a été claire. N'hésitez pas à poser vos questions dans la FAQ, et rendez-vous dans la prochaine vidéo.

Bienvenue dans cette vidéo où je vais vous présenter la démonstration d'une des propriétés fondamentales du chapitre. Alors, ici, la propriété doit vraiment être distinguée du théorème fondamental qu'on a vu dans une précédente vidéo. Je sais que des fois les élèves confondent un peu les deux et se demandent quelle peut être la différence. En fait, ils ne disent pas exactement la même chose. Il faut être très précis dans ce que chacun des théorèmes ou des propriétés apporte. Ici, on vous dit qu'on peut calculer une intégrale grâce à une primitive. C'est excellent. Le théorème fondamental vous disait qu'on avait l'existence d'une primitive sous forme d'un calcul intégral. C'était un petit peu différent. Donc, on va s'inspirer, bien sûr, enfin on va céder du théorème fondamental pour démontrer cette propriété. On nous dit soit f une fonction continue et positive pour un intervalle a, b. Soit F une primitive quelconque de f sur a, b. On ne nous dit pas du tout la forme de F. On n'exprime pas le fait que F s'écrive sous une intégrale ou pas. Non, non, là on n'utilise que le chapitre sur les primitives. On dit soit F une primitive de f. On sait que f est continue et elle a donc des primitives. Très bien. On peut calculer l'air entre a et b de la fonction f. Elle vaut la valeur de la primitive en b moins la valeur de la primitive en a. Donc voilà, si on le dit bien comme ça, ça n'a rien à voir encore avec le théorème fondamental. Je prends F une primitive quelconque et je ne me préoccupe pas pour l'instant de sa forme. Je ne suis pas en train d'annoncer un résultat sur la forme de la primitive. J'ai pour une primitive, l'air entre a et b vaudra F de b moins F de a. Avec un petit commentaire ensuite sur la notation. On écrit souvent ça en mathématiques sur ce genre de chapitre. F de x entre b et a avec des crochets, ça vaut... C'est une autre manière plus compacte d'écrire F de b moins F de a. Définition généralisée, c'est juste un petit point où c'est exactement la même chose qu'au-dessus sauf qu'on ne se restreint plus à des fonctions positives. On a la même chose, soit une fonction continue sur l'intervalle a, b, c'est tout. Donc quel que soit son signe. F une primitive quelconque de cette petite fonction. L'intégrale de f entre a et b, blablabla. C'est la même chose. Ce qu'on vous dit, c'est que ce qu'on va démontrer ici, en fait, il y aura une définition généralisée pour tout signe de fonction. Je vais maintenant vous montrer la démonstration de cette propriété. Alors, on va voir ça tout de suite. Alors, on souhaite montrer que pour toute primitive grand F, et encore une fois j'insiste assez lourdement, pas uniquement, pas que celle qui est la forme intégrale entre a et x de F de u du qu'on a vu dans le théorème fondamental, pour toute primitive grand F, on veut montrer qu'on peut écrire que l'intégrale entre a et b de petit f est égale à grand F de b, quelle que soit cette primitive, donc, moins grand F de a. Bon, on va faire deux différents cas. L'idée de la démonstration, c'est toujours de se rapporter justement à la fameuse primitive qu'on connaît depuis le théorème fondamental. Donc cette primitive intégrale entre a et x de F de u du, que je n'ai pas appelé grand F spécialement. C'est une fonction intégrale entre grand A et x de F de u du dans le théorème fondamental. On sait que c'est une primitive, mais il n'y a pas de raison que grand F soit celle-ci. Donc, premier cas, imaginons qu'on ait tombé sur celle-là, que grand F, la primitive dont on parle, soit exactement celle du théorème fondamental. Donc, c'est le premier cas. Alors, je vais encore décaler encore une fois ma fiche pour que vous puissiez voir quelque chose. On a dit donc deux cas. Premier cas, si grand F est justement la fonction dont on parle dans le théorème fondamental. Imaginons qu'on ait tombé dessus. Je le fais en premier cas, comme ça on n'en parle plus. Si grand F, c'est justement celle-ci. Donc, on se fait plaisir, on dit, très bien, l'intégrale entre A et B de petit a F de t, c'est égal exactement, quand je regarde les deux expressions, donc ici et ici, c'est égal en fait à grand F de b. Ben oui, parce qu'il suffit de mettre le b là-haut et c'est bon. Et je peux dire que c'est égal à grand F de b moins grand F de a. Pourquoi ? Ben parce que grand F de a, avec cette expression ici, c'est l'intégrale entre A et petit a, ça vaut zéro. Donc, voir la vidéo sur les propriétés qui l'explique, mais en fait c'est tout bête. Encore une fois, si je prends un rectangle de largeur entre A et X, bon pourquoi pas, entre A et A, c'est une largeur qui vaut zéro. Donc forcément, l'air est nul. C'est un peu l'idée derrière ça. Donc, je peux écrire que dans le cas où F est justement exactement cette primitive-là, ben oui, j'ai bien la propriété que l'intégrale entre A et B vaut grand F de b moins grand F de a. Très bien. Cas suivant. Si grand F est quelconque, je vais appeler G, celle qu'on connaît, donc celle dont on parle depuis tout à l'heure qui est donc celle du terrain fondamental, soit G, je donne un petit nom, tel que G soit l'intégrale entre A et X de dt dt. En fait, on va l'utiliser à fond. Toute la démonstration se repose sur elle. On a G de A égal zéro. D'après le cours sur les primitives, ça on a vu, c'est un théorème très très important des primitives, il n'y a pas de primitives. Quand on a une primitive, en gros, il n'y en a pas d'autres qui sont d'une forme autre que la primitive qu'on connaît, plus ou moins une constante. C'est-à-dire qu'une fois qu'on a trouvé une primitive, l'infinité des primitives qui va exister, donc je vais vous faire un rappel sur ce chapitre-là, l'infinité des primitives qui vont exister vont être juste une translation d'une constante par rapport à une que vous connaîtriez d'avance. Donc ici, moi je connais G d'avance. Je sais d'après le cours des primitives que toute primitive F va s'écrire F de X égale G de X plus K. Donc si ma F est quelconque, je sais qu'il va exister un K appartenant à R, donc je l'ai écrit mathématiquement, le E à l'envers ça veut dire il existe, il existe K appartenant à R, tel que pour toute X, mon F de X va être égal à G de X plus K. Ça va être la même que G de X à une constante près. Et donc là vous voyez que F de B moins F de A, tout bêtement c'est G de B plus K moins G de A plus K, encore une fois ça fait G de B plus G de A. Je vais encore décaler ma petite feuille là. Et donc G de B moins G de A, or G de A pour la même raison qu'auparavant ici, en fait c'est égal exactement à 0, et donc je trouve que G de B moins G de A, ça fait G de B, et G de B c'est l'intégral entre A et B de F. La propriété est donc démontrée. Donc j'ai bien insisté pour vous voyer la nuance entre les deux théorèmes, mais bien sûr pour démontrer cette propriété on va utiliser à fond le fait qu'on sache qu'il existe une primitive, et qu'on connaisse sa forme. Donc soit on parle d'elle-même, on parle de cette primitive là, et donc on a la propriété en deux minutes, en deux secondes, soit on ne l'a pas, mais on connaît notre chapitre sur les primitives, et on sait qu'on sera au pire à une constante de cette primitive qu'on connaît grâce au théorème fondamental. J'espère que ça a été clair comme démonstration, si vous avez des questions n'hésitez pas, toujours la FAQ est là, et je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo.

Intégrale et Primitive : calcul

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