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La méthode d'intégration par partie est utilisée pour calculer certaines intégrales. La formule utilisée est l'intégrale de U'V est égale à UV moins l'intégrale de UV'. Pour se souvenir de cette formule, on peut la dériver du produit de dérivées connu, UV' égal à U'V plus UV'. 

Il y a trois points importants à prendre en compte lors du choix des fonctions U et V : il doit y avoir un produit dans l'intégrale, au moins l'un des facteurs doit avoir une primitive facilement calculable, et le fait de dériver l'autre fonction doit faciliter le calcul. 

Dans l'exemple donné, on souhaite calculer l'intégrale de X ln X entre 1 et E. On peut choisir U = X et V' = ln X. La primitive de U est X²/2 et la dérivée de V est 1/X. Ces choix facilitent le calcul de l'intégrale, qui se simplifie en X/2. On peut ensuite calculer cette intégrale plus facilement et obtenir le résultat E²/2 + 1/4.

Il est important de ne pas se tromper dans le choix de quelle fonction dériver et quelle fonction intégrer. Une astuce consiste à noter clairement les fonctions U', U, V et V' pour faciliter le calcul.

Cet exemple illustre comment appliquer la méthode d'intégration par partie. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à consulter la FAQ.

Prochaine méthode, l'intégration par partie. Donc ça, il ne faut pas attaquer pour que ça vienne au fur et à mesure. On va essayer de voir les grands principes d'application pour la méthode, comment on fait une intégration par partie, pour ne pas se tromper. Donc, l'énoncé est très subjectif, il nous dit calculez l'intégration suivante avec la méthode d'intégration par partie. Voilà, parce qu'on est dans une méthode d'application, donc là, on ne vous le dira pas chaque fois que vous utilisez l'intégration par partie ou IPP. Donc déjà, la formule, parce que sans formule, ça va être compliqué. C'est l'intégrale de U'V, c'est UV entre crochets moins l'intégrale de UV'. Déjà, pour se la mémoriser et ne pas se tromper, d'où est-ce que ça vient cette formule ? C'est assez simple, ça vient de la dérivée du produit que vous connaissez tous. UV', c'est U'V plus UV'. Comme je vais calculer l'intégrale, l'intégrale de la somme, c'est la somme des intégrales, l'intégrale de UV', du coup, c'est l'intégrale de U'V plus l'intégrale de UV'. Et donc, celle-là, évidemment, l'intégrale d'une dérivée, c'est la fonction qui est à l'intérieur, entre crochets, d'après le théorème fondamental. Finalement, c'est un P'UV entre crochets. Là, j'ai deux à l'interne, par exemple celui-là, ça me fait bien ma formule d'IPP. Voilà d'où ça vient, la formule d'IPP. Deuxièmement, comment ? Tout l'enjeu, en fait, c'est de choisir... La réalité, c'est de choisir U'V, c'est ça une IPP. Il y a trois points. D'abord, évidemment, c'est débile, mais il faut le dire, il faut avoir un produit. Si je n'ai pas de produit dans l'intégrale, ça n'a rien de pensé à faire une IPP. Deuxième chose, il faut qu'au moins l'un des deux facteurs ait une primitive facilement calculable. Si je ne suis pas capable de calculer leur primitive, ça ne va pas marcher. Et dernier point, il faut que l'autre fonction, celle dont je n'ai pas à calculer la primitive, il faut que quand je la dérive, ça doit, entre guillemets, me faciliter la vie, ça doit m'arranger. Sinon, ça n'a pas d'intérêt, parce qu'une IPP, ça ne fait pas disparaître les intégrales. Je troque une première intégrale contre une autre. L'idée, c'est que celle-là, qui n'était pas évidente à calculer... Les termes entrecrochés, c'est jamais compliqué à calculer, c'est jamais ça qui va me bloquer. Il faut que celle-là soit plus simple. Il faut que le fait d'avoir du V' au lieu du V, il faut que ça m'arrange. Là, on va l'appliquer ici. Je veux calculer l'intégrale entre 1 et E de X ln de X. Vérifions mes trois points. J'ai bien un produit, j'ai bien X × ln de X, ça c'est sûr. Ensuite, la primitive, une primitive de X, c'est facile, je trouve X² sur 2. Et dérivé ln de X, ça fait du 1 sur X. Oui, ça m'arrange, parce que quand je fais le X² sur 2, 1 sur X, ça simplifie. Donc là, évidemment, je suis content de faire ça. Petite remarque, une IPP, ça peut être fait dans les deux sens parfois. Là, typiquement, on peut primitiver ln de X, c'est un peu plus compliqué, mais on peut connaître une primitive de ln de X et dériver X qui donne 1. Techniquement, c'est possible, mais ça n'a aucun intérêt, parce que la primitive de ln va être beaucoup plus compliquée à calculer son intégrale. Donc il ne faut pas se tromper, qui est ce qu'on dérive et qui est ce qu'on intègre. Petite astuce, je vous conseille pour ne pas se planter, d'écrire soit au brouillon ou sur la feuille, de bien écrire qui c'est U', donc qui c'est U, V et V'. Comme ça, je ne me casse pas la tête, je recopie bêtement. Plutôt que de se dire, oui, là, le dessus de l'entrecrochet, c'est U, etc. On fait comme ça, c'est plus simple. Donc là, je vais monter un entrecrochet, U fois V, j'ai X² sur 2 fois ln de X, et moins, n'oublie pas le moins ici, moins l'intégrale de X² sur 2 fois 1 sur X. Évidemment, là, ça simplifie, je suis hyper content. Ça fait X sur 2, et ça lui-même, alors j'ai toujours un calcul d'intégrale, mais par contre, X sur 2, ça se calcule beaucoup plus facilement. Donc je connais une primitive de X sur 2, c'est X² sur 4, entrecrochet entre E et 1, et donc là, c'est plus que du calcul, donc je fais le calcul et je tombe sur E² plus 1 sur 4. Donc voilà un exemple, comment on peut appliquer l'intégration par partie. Si vous avez des questions, n'hésitez pas, comme d'habitude, à aller dans la FAQ.

Intégration par Parties : Calcul

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