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Défs Dénombrement et liste

Le cours explique comment dénombrer les résultats dans différents scénarios. 
Le premier exemple concerne le lancer d'une pièce, où le nombre de résultats possibles est de 2 à chaque fois (pile ou face). Dans le deuxième exemple, il s'agit de distribuer 7 dominos à deux joueurs parmi les 28 dominos du jeu. Le nombre de distributions possibles est calculé en considérant l'ordre et l'absence de répétition, ce qui donne un total de 28! / (28-14)!. 
Le dernier exemple concerne l'attribution de 4 gâteaux à 4 invités, où chaque invité aura un gâteau différent. Le nombre de choix possibles est de 4!, car il y a 4 options pour le premier invité, puis 3 options pour le deuxième, 2 pour le troisième et 1 pour le dernier. 
Il est important de se poser deux questions lors du dénombrement : si l'ordre compte et s'il est possible d'avoir des répétitions.

Désormais, on va commencer à dénombrer des résultats et on va illustrer ça à travers des petits exemples. Premier petit exemple, on lance un classique, une pièce pile au face et 7 fois de suite. On veut déterminer le nombre de résultats. Donc là, on se demande, il faut toujours se poser deux questions. Il y a deux questions, la première c'est est-ce que c'est une liste ou un ensemble ? Est-ce que l'ordre compte ? Et ensuite, est-ce que je peux répéter plusieurs fois un résultat ? Là, c'est pas très clair d'en énoncer, mais quand on dit le nombre de résultats possibles, si je fais face pile pile, c'est pas pareil que pile pile face. Donc on déduit que ce qui compte c'est des listes, l'ordre compte. Et bien sûr qu'on peut répéter, on a un tirage qui part avec remise. C'est pas parce que j'ai tiré face une fois que je peux pas le retirer après. Donc finalement, le nombre de tirages possibles, c'est 2 à chaque fois. 2 x 2 x 2 x 2, donc ça fait 2 puissance 7. Pour le deuxième exemple, on a deux joueurs qui jouent domino recevant 7 dominos au hasard parmi les 28 dominos du jeu. Combien de distributions sont possibles ? Là aussi, quelque part, la question n'est pas hyper claire, puisque pour les dominos, ce qui compte, c'est l'ensemble qu'on a. Peu importe l'ordre de mes dominos. Mais là, comme ils disent qu'ils reçoivent 7 dominos, tous entendus un par un, ici on va chercher des listes. On va dire qu'on va considérer que l'ordre compte. Les nombres de listes possibles, c'est quoi ? J'ai 28 dominos pour le premier tirage. Par contre, là, il n'y a pas de répétition. Je ne peux pas avoir deux fois le même domino. Donc c'est 28. Ensuite, il en reste 27, 26, etc. Pour les 2 x 7 dominos à tirer, c'est-à-dire 14. Petite astuce pour savoir jusqu'où on va. Là, ça va jusqu'à 15. Ici, c'est 28-14 plus 1. Il ne faut pas oublier le plus 1. Pourquoi ? Parce qu'ici, je suis à 28-0. Là, je suis à 28-0. Ici, je suis à 28-1, etc. Jusqu'à 28-14 plus 1. Une autre façon simple de l'exprimer, c'est comme ça. C'est dire que c'est 28 factorial plus 28-14 factorial. Là, il se trouve que 28-14 fait aussi 14. Donc, ça fait 28 factorial sur 14 factorial pour ne pas écrire trois petits points partout. Cette notation-là est préférable. Ensuite, dernier exemple. On dispose de 4 gâteaux. 4 invités. Combien il y a de choix possibles ? Chaque invité va avoir un gâteau. Là, c'est pareil. Il n'y a pas de répétition possible. L'ordre compte. Les 4 gâteaux seront attribués. Il faut savoir quel gâteau va à qui. Pour le premier, si on dit qu'il y a un invité numéro 1, numéro 2, numéro 3, numéro 4, il y a 4 gâteaux pour le premier. Ensuite, une fois qu'il l'a choisi, il en reste 3 pour le deuxième, 2 pour le troisième et 1 pour le dernier. Donc, ça nous fait bien 4 factorial. Quand on commence à dénombrer, il faut se poser deux questions. Est-ce que j'ai l'ordre compte ou ne compte pas ? Est-ce que je peux avoir répétition ? Si vous avez des questions, n'hésitez pas à aller voir la FAQ.

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